Introduction : Un sujet complet pour la session 2025

Le sujet 0-3 de juin 2025 pour l'enseignement de spécialité mathématiques en classe de Première offre un panorama exhaustif des compétences attendues. Ce sujet se distingue par un équilibre entre la rapidité d'exécution (automatismes) et la profondeur de la réflexion sur la modélisation mathématique. Il aborde des thématiques centrales : les évolutions en pourcentage, les suites numériques (modèles linéaires versus géométriques), les probabilités conditionnelles et l'étude de croissance.

Partie Automatismes : La base du score

La première partie, notée sur 6 points, prend la forme d'un QCM couvrant 12 questions. Elle balaye l'ensemble du programme de Seconde et de Première. Les points de vigilance majeurs sont :

• Les évolutions successives : La question 2 rappelle qu'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne revient pas au prix initial (coefficient multiplicateur global de 0,96, soit une baisse de 4 %).
• La lecture graphique : La détermination du coefficient directeur d'une droite et l'identification des racines d'une fonction (solutions de f(x)=0) nécessitent une précision rigoureuse.
• Le calcul littéral : Isoler une variable dans une formule physique (V = πr²h) est un automatisme essentiel pour la suite du cursus scientifique.

Conseil méthodologique : Ne pas se précipiter. Sur des questions de type 'vitesse moyenne' (Question 8), convertissez systématiquement les unités avant de calculer.

Exercice 1 : Modélisation thermique et Suites numériques

Cet exercice est le cœur de l'analyse. Il oppose deux modèles pour le refroidissement d'un plat :

• Le modèle linéaire (Partie A) : On suppose une baisse constante. Le piège ici est de croire à la pertinence du modèle sur le long terme. Une température ne peut pas descendre indéfiniment de façon linéaire sans finir par devenir négative, ce qui est physiquement impossible dans une pièce à 25°C.
• Le modèle géométrique (Partie B) : C'est ici que l'élève doit briller. La suite (Un) représente l'écart de température. La relation U_{n+1} = 0,8U_n définit une suite géométrique de raison q = 0,8.

L'utilisation du tableau de valeurs fourni permet de répondre à la problématique concrète : au bout de combien de temps le plat est-il à 40°C ? N'oubliez pas que U_n = Température - 25. Ainsi, chercher une température de 40°C revient à chercher U_n = 15. Le tableau montre que pour n=10, U_n ≈ 16,8 et pour n=11, U_n ≈ 13,4. Le plat peut donc être servi après 11 minutes.

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et Arbre pondéré

L'exercice sur la fête du sport teste la capacité à organiser des données textuelles. La construction de l'arbre est l'étape cruciale.

Notions clés : - Probabilités de l'énoncé : P(E) = 0,9 ; P_E(L) = 0,05. - Formule des probabilités totales : P(L) = P(E ∩ L) + P(nonE ∩ L). - Inversion des probabilités (Formule de Bayes) : Calculer P_L(nonE), soit la probabilité que le participant ait fait le cross sachant qu'il est licencié.

Le piège : L'intuition du journaliste. Le calcul montre que P_L(nonE) = (0,1 * 0,4) / 0,085 ≈ 0,47. L'intuition était fausse (inférieur à 50 %), prouvant que les probabilités conditionnelles sont souvent contre-intuitives.

Exercice 3 : Affirmations Vrai/Faux et Fonctions de croissance

Cet exercice final demande une justification rigoureuse :

1. Indépendance : Pour l'Affirmation 1, si les appels sont indépendants, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0,3 * 0,3 = 0,09 (Vrai). Pour l'Affirmation 2, il faut utiliser le schéma de Bernoulli : 2 * (0,3 * 0,7) = 0,42 (Faux).
2. Croissance exponentielle : La fonction f(t) = 1,1^t est une fonction de type exponentiel (base > 1). Elle est donc strictement croissante sur [0 ; +∞[. Pour l'Affirmation 4, on calcule f(2) = 1,1² = 1,21. Comme f(t) est en milliers, cela donne 1210 bactéries, ce qui reste inférieur au seuil de 1500 (Vrai).

Conclusion

Ce sujet 0-3 de 2025 souligne l'importance de la maîtrise des suites et des probabilités. La capacité à interpréter un énoncé concret et à le traduire en langage mathématique est la clé du succès. Pour réussir, entraînez-vous sur la manipulation des coefficients multiplicateurs et la rédaction rigoureuse des justifications en probabilités.