Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'évolution de la production d'énergie d'éoliennes domestiques, modélisée par une suite numérique. L'énoncé présente une diminution annuelle en pourcentage, ce qui oriente immédiatement l'élève vers l'utilisation des suites géométriques. L'exercice combine des calculs de termes, la justification d'une relation de récurrence, l'exploitation d'un tableur et l'identification graphique.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Il est crucial de savoir transformer une baisse de 5 % en un coefficient multiplicateur : $1 - \frac{5}{100} = 0,95$.
- Nature de la suite : Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante est une suite géométrique.
- Lecture de tableur : Savoir faire correspondre l'indice $n$ à la ligne du tableau et interpréter le résultat par rapport à l'année de départ ($2025 + n$).
- Représentation graphique : Une suite arithmétique est représentée par des points alignés, tandis qu'une suite géométrique (de raison positive différente de 1) suit une courbe exponentielle.
Correction détaillée
1. Étude de la suite
a) Production en 2026 : L'année 2026 correspond à $n=1$. La production baisse de 5 % par rapport à $u_0 = 3000$.
$u_1 = 3000 \times (1 - 0,05) = 3000 \times 0,95 = 2850$ kWh.
b) Justification : Chaque année, la valeur est multipliée par $1 - 0,05 = 0,95$. On a donc bien $u_{n+1} = 0,95 \times u_n$.
c) Nature : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 3000$ et de raison $q = 0,95$.
2. Exploitation des données (Tableur)
a) Seuil de 1000 kWh : En observant la colonne B du tableau, on cherche la première valeur inférieure à 1000. Pour $n=21$, $u_{21} \approx 1021,68$. Pour $n=22$, $u_{22} \approx 970,60$.
C'est donc à partir de l'année $2025 + 22 = 2047$ que la production sera inférieure à 1000 kWh.
b) Affirmation du fabricant : On calcule 30 % de la production initiale : $0,30 \times 3000 = 900$.
Au bout de 25 ans ($n=25$), le tableau indique $u_{25} = 832,17$.
Comme $832,17 < 900$, l'affirmation est fausse : la production est inférieure à 30 % de la valeur initiale.
3. Identification graphique
La suite $(u_n)$ est géométrique avec une raison $q = 0,95$. Sa représentation graphique n'est pas une droite (contrairement aux suites arithmétiques). C'est donc le Graphique 2 qui convient, car les points dessinent une courbe caractéristique d'une décroissance géométrique.