Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Technologique (Sujet 0, 2025) aborde les notions fondamentales de probabilités. Il se divise en deux parties : l'exploitation d'un tableau de contingence (effectifs croisés) et l'étude d'une répétition d'épreuves indépendantes (loi de Bernoulli simplifiée). L'objectif est de vérifier la compréhension des événements, des probabilités conditionnelles et des calculs basiques sur des schémas de répétition.
Points de vigilance et notions requises
- Lecture de tableau : Il faut bien distinguer l'univers de référence (le total général vs une ligne/colonne spécifique).
- Union d'événements : La formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) est essentielle pour éviter de compter deux fois l'intersection.
- Indépendance : Pour deux services indépendants, la probabilité d'une issue combinée est le produit des probabilités individuelles.
Correction Détaillée
Question 1 : Tableau de dopage
Affirmation 1 : Fausse. On cherche \(P(\text{Non dopé} \cup \text{Test positif})\). Une probabilité ne peut jamais être supérieure à 1. Or \(\frac{213}{200} > 1\). Le calcul correct est : \(\frac{193 + 20 - 15}{200} = \frac{198}{200} = 0,99\).
Affirmation 2 : Vraie. On choisit parmi les tests positifs (Total = 20). Le nombre de coureurs non dopés dans ce groupe est 15. La probabilité est \(\frac{15}{20} = 0,75\), soit 75%.
Affirmation 3 : Vraie. Une erreur de test correspond soit à un faux positif (non dopé mais testé positif : 15 personnes), soit à un faux négatif (dopé mais testé négatif : 2 personnes). Total d'erreurs = \(15 + 2 = 17\). Probabilité = \(\frac{17}{200} = 0,085\), soit 8,5%.
Question 2 : Services au tennis
Affirmation 4 : Fausse. Notons \(R\) l'événement "réussi" (\(P=0,9\)) et \(M\) l'événement "manqué" (\(P=0,1\)). Réussir exactement un service signifie obtenir le couple \((R,M)\) ou \((M,R)\). Les services étant indépendants : \(P = (0,9 \times 0,1) + (0,1 \times 0,9) = 0,09 + 0,09 = 0,18\). L'affirmation 0,09 oubliait l'un des deux ordres possibles.