Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Technologique porte sur l'étude d'une fonction polynomiale de degré 3. Il combine une approche graphique (lecture de coordonnées et de pentes) et une approche algébrique (calcul de dérivée et étude de signe). L'objectif est de vérifier la cohérence entre l'observation visuelle sur une courbe et les résultats rigoureux issus du calcul différentiel.

Points de vigilance et notions de cours

• Coefficient directeur : Rappelez-vous que $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est indispensable.
• Lien Dérivée/Variations : Le signe de la fonction dérivée $f'(x)$ détermine le sens de variation de la fonction $f$.
• Factorisation : Savoir factoriser un polynôme du second degré pour en étudier le signe plus facilement.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Lecture graphique :
a) La courbe passe par $(2;0)$, donc $f(2) = 0$. La tangente $T$ passe par $(2;0)$ et $(0;12)$. Son coefficient directeur est $m = \frac{0 - 12}{2 - 0} = -6$, d'où $f'(2) = -6$.
b) L'équation est $y = -6(x - 2) + 0$, soit $y = -6x + 12$.
c) On observe que la fonction monte jusqu'à $x=0$, descend jusqu'à $x=4$, puis remonte. Le tableau de variation montre donc une croissance sur $[-2;0]$, une décroissance sur $[0;4]$ et une croissance sur $[4;6]$.

2. Étude algébrique :
a) Pour $f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 8$, on dérive terme à terme : $f'(x) = 0,5 \times 3x^2 - 3 \times 2x = 1,5x^2 - 6x$. En factorisant par $1,5x$, on obtient bien $f'(x) = 1,5x(x - 4)$.
b) $f'(x)$ est un polynôme du second degré s'annulant en $0$ et $4$. Il est positif à l'extérieur des racines (car $a=1,5 > 0$). Donc $f$ est croissante sur $[-2;0]$, décroissante sur $[0;4]$ et croissante sur $[4;6]$, ce qui confirme la lecture graphique.

3. Position relative :
Si $f(x) \le -6x + 12$ sur $[0;2]$, cela signifie que sur cet intervalle, la courbe $C$ est située en dessous de sa tangente $T$.