Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet 0 pour l'année 2025 en Première Technologique, prend la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de 12 questions indépendantes. Ce format évalue principalement les automatismes : calcul numérique, gestion des proportions, manipulation des puissances et lecture graphique de fonctions. Aucune justification n'est attendue, ce qui impose une rigueur absolue dans la lecture des énoncés et la rapidité d'exécution.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont nécessaires :

• Calcul de pourcentages : Savoir qu'une hausse de $n\%$ revient à multiplier par $1 + n/100$ et qu'une baisse par $1 - n/100$.
• Propriétés des puissances : Maîtriser les règles de calcul sur les exposants (produit, quotient, puissance de puissance) et la notation scientifique.
• Analyse graphique : Distinguer l'ordonnée à l'origine, les racines (solutions de $f(x)=0$) et les zones d'inéquation ($f(x) \leq g(x)$).
• Algèbre : Isoler une variable dans une formule simple.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Prendre $80\%$ de $25\%$ revient à multiplier les deux fractions : $\frac{1}{4} \times 80\%$ (Réponse b).

Question 2 : Une baisse de $50\%$ correspond à un coefficient multiplicateur $CM = 0,5$. Pour revenir à l'état initial, on multiplie par $1/0,5 = 2$, ce qui correspond à une hausse de $100\%$ (Réponse b).

Question 3 : Le coefficient multiplicateur est égal à $\text{Valeur Finale} / \text{Valeur Initiale} = 200 / 250 = 0,8$ (Réponse c).

Question 4 : Utilisons les règles des puissances. $\frac{10^{-5}}{10^8} = 10^{-5-8} = 10^{-13}$ (Réponse c).

Question 5 : $70 \times 10^{-3} \text{ mm} \times 2000 = 70 \times 2 = 140 \text{ mm} = 14 \text{ cm}$ (Réponse c).

Question 6 : Pour comparer les masses, convertissons-les avec la même puissance de 10 : Mars a la plus grande masse avec $6,4185 \times 10^{23}$ kg (Réponse d).

Question 7 : L'expression est $x + 3x + x^2$, ce qui se simplifie en $4x + x^2$ (Réponse d).

Question 8 : L'inéquation $f(x) \leq g(x)$ correspond aux zones où la courbe $C$ est en dessous de $C'$. C'est le cas sur $[-2 ; -1] \cup [1 ; 2]$ (Réponse c).

Question 9 : En observant le graphique de $f$, la courbe coupe l'axe des abscisses deux fois entre $-3$ et $0$. Les deux solutions sont donc négatives (Réponse c).

Question 10 : La fonction doit s'annuler en $2$ et être décroissante (passe du $+$ au $-$). Seule $f(x) = -3x + 6$ vérifie ces conditions (Réponse a).

Question 11 : $C = (1+t)^2 \implies \sqrt{C} = 1+t \implies t = \sqrt{C} - 1$ (Réponse b).

Question 12 : En observant le diagramme, la partie hachurée à gauche (Hydraulique) est la plus haute en 2001 (Réponse b).