Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première en Enseignement Spécifique. Il repose sur la modélisation de l'évolution d'une grandeur (la surface de nénuphars) selon deux modèles mathématiques distincts : une croissance linéaire (suite arithmétique) et une croissance exponentielle (suite géométrique). L'objectif est de comparer ces deux évolutions et de résoudre des problèmes de seuil pour déterminer quand la surface totale de l'étang ($2\,000$ m²) sera atteinte.

Points de vigilance et notions de cours

• Identification de la suite : Une augmentation constante en valeur absolue ($+40$ m²) caractérise une suite arithmétique. Une augmentation en pourcentage ($+20\%$) caractérise une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{20}{100} = 1,2$.
• Utilisation du terme général : Il est crucial de maîtriser les formules $u_n = u_0 + n \times r$ et $v_n = v_0 \times q^n$.
• Lecture de données : Pour la question 3.c, l'élève ne dispose pas encore de la fonction logarithme (au programme de Terminale). Il doit donc savoir exploiter un tableau de valeurs fourni pour résoudre une inéquation de type $q^n \ge A$.

Correction détaillée

1. Question préliminaire :
a) Le pourcentage d'augmentation est $\frac{40}{200} = 0,2$ soit $20\%$.
b) La nouvelle surface est $200 + 40 = 240$ m².

2. Modèle Arithmétique :
On pose $u_n$ la surface à la semaine $n$, avec $u_0 = 200$ et $r = 40$.
a) $u_{10} = 200 + 10 \times 40 = 600$ m².
b) On cherche $n$ tel que $200 + 40n = 580$, soit $40n = 380$, donc $n = 9,5$. Comme $n$ doit être un entier (le relevé se fait le dimanche), ce n'est pas possible.
c) $200 + 40n \ge 2\,000 \iff 40n \ge 1\,800 \iff n \ge 45$. L'étang est recouvert après 45 semaines.

3. Modèle Géométrique :
On pose $v_n$ la surface avec $v_0 = 200$ et $q = 1,2$.
a) $v_1 = 200 \times 1,2 = 240$ et $v_2 = 240 \times 1,2 = 288$ m².
b) Terme général : $v_n = 200 \times 1,2^n$.
c) Seuil : $200 \times 1,2^n \ge 2\,000 \iff 1,2^n \ge 10$. D'après le tableau, $1,2^{12} \approx 8,92$ et $1,2^{13} \approx 10,70$. L'étang est recouvert au bout de 13 semaines.

Analyse graphique

Le schéma doit montrer une droite pour la question 2 (croissance constante) et une courbe convexe s'élevant de plus en plus rapidement pour la question 3. Le point d'intersection avec l'horizontale $y = 2\,000$ est atteint beaucoup plus tôt pour le modèle géométrique.