Analyse de l'énoncé

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, permettant d'évaluer les compétences clés du programme de Première Enseignement Spécifique sur les probabilités. La Partie A repose sur l'exploitation d'un tableau d'effectifs (données bivariées) pour calculer des probabilités simples, des probabilités conditionnelles et tester l'indépendance de deux événements. La Partie B introduit une expérience aléatoire répétée (épreuves de Bernoulli indépendantes) modélisable par un arbre pondéré.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Lecture de tableau : Il est crucial de bien distinguer l'univers de référence (l'ensemble des élèves ou un sous-groupe comme les filles).
• Probabilité conditionnelle : Rappel de la formule $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Dans un tableau, cela revient à restreindre le dénominateur à la ligne ou colonne concernée.
• Indépendance : Deux événements $A$ et $F$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap F) = P(A) \times P(F)$ ou, plus intuitivement, si $P_F(A) = P(A)$.
• Arbre de probabilités : Pour 3 lancers, l'arbre possède $2^3 = 8$ issues. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A :

• Q1 : Nombre de filles = $712 + 288 = 1000$. Nombre de garçons = $728 + 272 = 1000$. L'affirmation est vraie : il y a bien autant de filles que de garçons.
• Q2 : $P(A \cap F) = \frac{712}{2000}$. C'est le nombre de filles ayant choisi Anglais sur le total des élèves.
• Q3 : Sachant $F$, on regarde uniquement la colonne des filles. $P_F(A) = \frac{712}{1000}$.
• Q4 : Calculons $P(A) = \frac{712+728}{2000} = \frac{1440}{2000} = 0,72$. Comme $P_F(A) = \frac{712}{1000} = 0,712$, on remarque que $P_F(A) \neq P(A)$. Les événements ne sont donc pas indépendants.
• Q5 : On se place chez les garçons. Probabilité Anglais : $P_G(A) = \frac{728}{1000}$. Probabilité non-Anglais : $P_G(\bar{A}) = \frac{272}{1000}$. On compare : $3 \times 272 = 816$. Comme $728 < 816$, la probabilité n'est pas "plus de trois fois plus grande". L'affirmation est fausse.

Partie B :

• Q1 : $P(Face) = 1 - P(Pile) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
• Q2a : L'arbre comporte 3 niveaux. Chaque nœud se sépare en P ($1/4$) et F ($3/4$).
• Q2b : Obtenir exactement une fois Pile correspond aux chemins (P,F,F), (F,P,F) et (F,F,P). Chaque chemin a une probabilité de $\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$. Total : $3 \times \frac{9}{64} = \frac{27}{64}$.
• Q2c : Ne jamais obtenir Pile revient à obtenir (F,F,F). $P = (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$.