Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves communes de la classe de Première Spécialité de 2020, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) à cinq questions indépendantes. Il balaie un spectre large du programme, notamment les fonctions trigonométriques, la résolution d'équations circulaires, les propriétés du produit scalaire dans le plan et la géométrie analytique (équations de droites).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux :

• Trigonométrie : La parité des fonctions sinus et cosinus, ainsi que la connaissance des valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
• Géométrie vectorielle : La définition du produit scalaire par le cosinus de l'angle et la relation entre les angles dans un parallélogramme.
• Géométrie repérée : La notion de vecteur normal à une droite d'équation $ax + by + c = 0$ et les conditions de parallélisme ou de perpendicularité entre deux droites.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : Étudions la parité de $f(x) = \sin(x) - x$. On calcule $f(-x) = \sin(-x) - (-x) = -\sin(x) + x = -(\sin(x) - x) = -f(x)$. La fonction est donc impaire. (Réponse b).

Question 2 : L'équation $2 \cos(x) - \sqrt{3} = 0$ équivaut à $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Sur l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$, les solutions sont $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$. (Réponse a).

Question 3 : On cherche $\vec{DA} \cdot \vec{DC}$. Dans le parallélogramme ABCD, $DC = AB = 3$ et $DA = 4$. L'angle $\widehat{ADC}$ est supplémentaire à $\widehat{BAD}$ car les côtés (AB) et (DC) sont parallèles. Ainsi, $\widehat{ADC} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Le produit scalaire est : $DA \times DC \times \cos(\widehat{ADC}) = 4 \times 3 \times \cos(\frac{2\pi}{3}) = 12 \times (-\frac{1}{2}) = -6$. (Réponse d).

Question 4 : La droite $(d_1)$ a pour vecteur normal $\vec{n_1}(3 ; -4)$. Une droite $(d_2)$ perpendiculaire à $(d_1)$ admet $\vec{n_1}$ comme vecteur directeur, donc un vecteur normal pour $(d_2)$ est $\vec{n_2}(4 ; 3)$. L'équation est de la forme $4x + 3y + c = 0$. En passant par A(1 ; 1), on a $4(1) + 3(1) + c = 0 \implies c = -7$. L'équation est $4x + 3y - 7 = 0$. (Réponse b).

Question 5 : Les vecteurs normaux sont $\vec{n}(2 ; -1)$ et $\vec{n'}(-4 ; 2)$. On remarque que $\vec{n'} = -2\vec{n}$, les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. (Réponse c).