Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de l'année de Première Spécialité Mathématiques. Il combine l'étude d'une fonction exponentielle de la forme $f(t) = C e^{at}$ avec une application concrète (la puissance d'un son) et une analyse algorithmique en langage Python. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à dériver une fonction composée simple, à interpréter le sens de variation et à comprendre une structure de boucle conditionnelle.

Points de vigilance et notions de cours

• Dérivation de l'exponentielle : Il est crucial de connaître la formule $(e^{u})' = u' e^u$. Ici, $u(t) = -0,14t$, donc $u'(t) = -0,14$.
• Propriétés de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.
• Algorithmique : La boucle while (tant que) s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée. Il faut être capable d'identifier que la fonction cherche un temps de 'demi-vie' ou de seuil.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
La fonction est de la forme $f(t) = 120 e^{u(t)}$ avec $u(t) = -0,14t$.
En appliquant la règle de dérivation, on obtient :
$f'(t) = 120 \times (-0,14) e^{-0,14t} = -16,8 e^{-0,14t}$.

2. Tableau de variations et interprétation :
Comme $e^{-0,14t} > 0$ pour tout $t \ge 0$ et que $-16,8 < 0$, alors $f'(t) < 0$ sur $[0 ; +\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur son intervalle de définition. Interprétation : La puissance du son diminue continuellement au cours du temps après le pincement de la corde.

3. Calcul à t = 3 :
$f(3) = 120 e^{-0,14 \times 3} = 120 e^{-0,42}$.
À l'aide de la calculatrice, $f(3) \approx 78,8$ watts.

4. Analyse de l'algorithme Python :
La variable puissance commence à 120. La boucle s'exécute tant que la puissance est supérieure ou égale à 60. À chaque étape, on augmente le temps $t$ de 0,1 seconde. La fonction renvoie donc le temps $t$ à partir duquel la puissance du son devient strictement inférieure à 60 watts (soit la moitié de la puissance initiale).