Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en Première Spécialité. Il combine deux piliers du programme de probabilités : la modélisation par un arbre pondéré (probabilités conditionnelles) et l'étude d'une variable aléatoire discrète associée à des coûts financiers. L'enjeu est de traduire correctement les données textuelles en probabilités numériques et de ne pas confondre les probabilités d'intersections avec les probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : Attention à la lecture de l'énoncé. 'Parmi les smartphones ayant un écran cassé...' introduit une probabilité conditionnelle $P_E(B)$.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer $P(B)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à l'événement $B$, soit $P(E \cap B) + P(\bar{E} \cap B)$.
• Loi de probabilité : Une variable aléatoire $X$ associe une valeur numérique à chaque issue. Ici, il faut bien identifier les 4 combinaisons possibles (Écran OK/Cassé × Batterie OK/Défectueuse).
• Espérance et interprétation : L'espérance $E(X)$ représente le coût moyen par smartphone sur un grand nombre d'essais. Pour 500 smartphones, le coût total estimé est $500 \times E(X)$.

Correction Détaillée

1. Probabilités conditionnelles

• a. Arbre : Le premier niveau se divise en $E$ (0,45) et $\bar{E}$ (0,55). Du nœud $E$ partent $B$ (0,30) et $\bar{B}$ (0,70). Du nœud $\bar{E}$ partent $B$ (0,20) et $\bar{B}$ (0,80).
• b. Calcul de $P(B)$ : Selon la formule des probabilités totales : $P(B) = P(E) \times P_E(B) + P(\bar{E}) \times P_{\bar{E}}(B) = 0,45 \times 0,3 + 0,55 \times 0,2 = 0,135 + 0,11 = 0,245$. La démonstration est cohérente avec l'énoncé.
• c. Probabilité inverse : On cherche $P_B(E) = \frac{P(E \cap B)}{P(B)} = \frac{0,135}{0,245} \approx 0,551$.

2. Variable aléatoire et coût

• a. Loi de probabilité :
  - $X=20$ (Rien) : $P(\bar{E} \cap \bar{B}) = 0,55 \times 0,8 = 0,44$.
  - $X=50$ (Écran seul) : $P(E \cap \bar{B}) = 0,45 \times 0,7 = 0,315$.
  - $X=60$ (Batterie seule) : $P(\bar{E} \cap B) = 0,55 \times 0,2 = 0,11$.
  - $X=90$ (Écran + Batterie) : $P(E \cap B) = 0,45 \times 0,3 = 0,135$.
  Vérification : $0,44 + 0,315 + 0,11 + 0,135 = 1$.
• b. Coût pour 500 smartphones :
  Calculons l'espérance $E(X) = 20 \times 0,44 + 50 \times 0,315 + 60 \times 0,11 + 90 \times 0,135 = 8,8 + 15,75 + 6,6 + 12,15 = 43,3$ euros.
  Pour 500 smartphones, la dépense totale prévue est $500 \times 43,3 = 21\,650$ euros.