Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent test de synthèse pour le programme de mathématiques de Première Spécialité. Il balaie trois thèmes majeurs : l'étude des fonctions du second degré, le lien entre une fonction et sa dérivée, et enfin la géométrie repérée incluant le produit scalaire. Chaque question est indépendante, mais les trois premières utilisent le même support graphique représentant une parabole.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir interpréter graphiquement les paramètres $a$ (concavité) et $\Delta$ (nombre de racines).
• Dérivation : Comprendre que le signe de la dérivée $f'(x)$ (ici notée $g(x)$) donne les variations de la fonction $f$. Savoir lire l'image d'un point sur une courbe pour l'utiliser dans l'équation d'une tangente.
• Géométrie repérée : Maîtriser le passage d'un vecteur normal à une équation cartésienne de droite ($ax + by + c = 0$) et utiliser les coordonnées pour calculer un produit scalaire.
• Angle et cosinus : Utiliser la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ pour retrouver la mesure d'un angle.

Correction détaillée

Question 1 : La parabole est tournée vers le bas, donc le coefficient de $x^2$ est négatif ($a < 0$). La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, donc l'équation $g(x) = 0$ possède deux solutions réelles, ce qui implique que le discriminant $\Delta$ est strictement positif. La réponse correcte est la c.

Question 2 : On nous dit que $g$ est la dérivée de $f$. Pour trouver les variations de $f$, il faut regarder le signe de $g(x)$. Sur le graphique, $g(x)$ est négatif sur $]-\infty; 1]$, positif sur $[1; 5]$, et de nouveau négatif sur $[5; +\infty[$. Par conséquent, $f$ est décroissante, puis croissante, puis décroissante. La réponse correcte est la c.

Question 3 : L'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est $y = f'(3)(x - 3) + f(3)$. On sait que $f'(3) = g(3)$. En lisant le graphique de la question 1, l'ordonnée du point d'abscisse 3 sur la courbe $\mathcal{C}_g$ est $4$. On a aussi $f(3) = 7$. Donc $y = 4(x - 3) + 7$, soit $y = 4x - 12 + 7 = 4x - 5$. En isolant les termes, on obtient $4x - y - 5 = 0$. Note : Suite à une possible coquille dans l'énoncé original sur les propositions, la méthode reste le calcul de $f'(a)$.

Question 4 : Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 5; 2 - (-1)) = (-2; 3)$. Ce vecteur est normal à la droite cherchée. Son équation est de la forme $-2x + 3y + c = 0$. En passant par $C(1; -3)$, on a $-2(1) + 3(-3) + c = 0$, soit $-2 - 9 + c = 0 \implies c = 11$. L'équation est $-2x + 3y + 11 = 0$. La réponse est la a.

Question 5 : Pour l'angle $\widehat{ABC}$, calculons $\vec{BA}(2; -3)$ et $\vec{BC}(-2; -5)$. Le produit scalaire est $2(-2) + (-3)(-5) = -4 + 15 = 11$. Les normes sont $BA = \sqrt{13}$ et $BC = \sqrt{29}$. Ainsi, $\cos(\widehat{ABC}) = 11 / (\sqrt{13} \times \sqrt{29}) \approx 0,566$. À la calculatrice, $\arccos(0,566) \approx 55^\circ$. La réponse est la c.