Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction modélisant la concentration d'un produit médical dans le sang. La fonction $f(x) = \frac{6x}{e^x}$ combine une fonction affine et la fonction exponentielle sous forme de quotient (ou de produit si on l'écrit $6x e^{-x}$). L'objectif est de mobiliser les outils de l'analyse : dérivation, étude de signe, et interprétation concrète d'un extremum dans un contexte de régulation sportive.
Points de vigilance et notions requises
- La dérivée d'un quotient : On utilise la formule $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x)=6x$ et $v(x)=e^x$.
- Propriétés de l'exponentielle : Il est crucial de se rappeler que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.
- Lecture graphique vs Calcul : L'exercice demande de justifier par le calcul (étude de fonction) tout en s'appuyant éventuellement sur le graphique pour la cohérence des résultats.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la dérivée :
Posons $u(x) = 6x \Rightarrow u'(x) = 6$ et $v(x) = e^x \Rightarrow v'(x) = e^x$.
En appliquant la formule du quotient :
$f'(x) = \frac{6 \cdot e^x - 6x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(6 - 6x)}{(e^x)^2}$.
En simplifiant par $e^x$ (qui n'est jamais nul), on obtient bien : $f'(x) = \frac{6 - 6x}{e^x}$.
2. Étude du signe et variations :
Le dénominateur $e^x$ est toujours strictement positif sur $[0 ; 10]$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement du numérateur $6 - 6x$.
- $6 - 6x > 0 \iff 6 > 6x \iff x < 1$.
- $6 - 6x = 0 \iff x = 1$.
- $6 - 6x < 0 \iff x > 1$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0 ; 1]$ et strictement décroissante sur $[1 ; 10]$.
3. Maximum de la fonction :
D'après le tableau de variations, le maximum est atteint en $x = 1$.
La valeur exacte est $f(1) = \frac{6(1)}{e^1} = \frac{6}{e}$ mg/L.
À l'aide de la calculatrice, $\frac{6}{e} \approx 2,2$ mg/L. Ce maximum est atteint au bout d'une heure.
4. Interprétation réglementaire :
La limite autorisée est de 2 mg/L. Puisque le maximum de la concentration est d'environ 2,2 mg/L, il existe un intervalle de temps autour de $t=1$ heure où le sportif est en infraction. En observant la courbe ou en résolvant $f(x) > 2$, on constate que la concentration dépasse le seuil réglementaire. Le sportif ne peut donc pas être contrôlé à tout moment sans risque de sanction.