Analyse de l'énoncé
Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude des suites géométriques et leur implémentation en langage Python. L'énoncé modélise la progression d'un sportif (un cycliste) dont la distance parcourue hebdomadaire augmente selon un taux fixe. Ce type de problème est classique pour évaluer la capacité à transformer une évolution en pourcentage en un coefficient multiplicateur.
Points de vigilance et notions clés
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont nécessaires :
- Coefficient multiplicateur : Comprendre qu'une augmentation de $9\%$ correspond à multiplier par $1 + \frac{9}{100} = 1,09$.
- Nature de la suite : Identifier une suite géométrique par la relation de récurrence $d_{n+1} = q \times d_n$.
- Formule du terme général : Savoir utiliser $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ (attention à l'exposant car ici la suite commence à $n=1$).
- Algorithmique : Interpréter une boucle
while comme une recherche de seuil. - Somme de termes : Appliquer la formule $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.
Correction détaillée
1. Preuve du calcul de $d_3$
On sait que $d_1 = 30$. Chaque semaine, la distance augmente de $9\%$.
$d_2 = d_1 \times 1,09 = 30 \times 1,09 = 32,7$.
$d_3 = d_2 \times 1,09 = 32,7 \times 1,09 = 35,643$.
2. Nature de la suite
Le passage d'une semaine à la suivante se fait toujours en multipliant par le même réel $q = 1,09$. Par définition, la suite $(d_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $d_1 = 30$ et de raison $q = 1,09$.
3. Expression de $d_n$ en fonction de $n$
Pour une suite géométrique démarrant à $n=1$, la formule est $d_n = d_1 \times q^{n-1}$.
Ici, on a : $d_n = 30 \times 1,09^{n-1}$.
4. Interprétation de l'algorithme Python
La fonction distance(k) initialise la distance à 30 et le compteur de semaine à 1. La boucle while continue tant que la distance hebdomadaire $d$ n'a pas dépassé la valeur $k$.
Le calcul de distance(150) permet donc de déterminer le numéro de la semaine à partir de laquelle le cycliste parcourt au moins 150 km lors de son entraînement.
5. Calcul de la distance totale (20 premières semaines)
On cherche la somme $S = d_1 + d_2 + ... + d_{20}$.
Formule : $S = 30 \times \frac{1 - 1,09^{20}}{1 - 1,09} = 30 \times \frac{1 - 1,09^{20}}{-0,09}$.
À la calculatrice : $S \approx 1534,81$ km.
Le cycliste aura parcouru environ 1534,81 km en cumulé sur les 20 premières semaines.