Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques de Première Spécialité. Il porte sur les probabilités conditionnelles appliquées au domaine de la santé (tests de dépistage). La structure de l'exercice suit une progression pédagogique standard : modélisation par un arbre, calcul d'une intersection, application de la formule des probabilités totales, et enfin, calcul d'une probabilité inversée (formule de Bayes).

Points de vigilance et notions requises

• La lecture de l'énoncé : Il est crucial de distinguer les probabilités simples des probabilités conditionnelles. Par exemple, « si une personne est malade, alors le test se révèle positif » traduit mathématiquement $P_M(T) = 0,97$.
• La somme des branches : Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• La précision : L'énoncé demande un arrondi au dix-millième ($10^{-4}$), ce qui exige une rigueur particulière lors des calculs intermédiaires.

Correction détaillée

1. Arbre de probabilité :
Le premier niveau de l'arbre se divise en $M$ ($0,01$) et $\overline{M}$ ($1 - 0,01 = 0,99$).
Pour les branches secondaires :
- Après $M$, on a $T$ ($0,97$) et $\overline{T}$ ($1 - 0,97 = 0,03$).
- Après $\overline{M}$, on a $\overline{T}$ ($0,98$) et donc $T$ ($1 - 0,98 = 0,02$).

2. Calcul de $P(\overline{M} \cap T)$ :
Selon la règle du produit sur les chemins : $P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T) = 0,99 \times 0,02 = 0,0198$. Le résultat est bien celui attendu.

3. Montrer que $P(T) = 0,0295$ :
D'après la formule des probabilités totales, $M$ et $\overline{M}$ formant une partition de l'univers :
$P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)$
$P(T) = (0,01 \times 0,97) + 0,0198 = 0,0097 + 0,0198 = 0,0295$.

4. Calcul de $P_T(M)$ :
$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0,0097}{0,0295} \approx 0,3288$.

5. Interprétation :
Une personne testée positive n'est pas nécessairement atteinte de la maladie. En effet, $P_T(M) \approx 0,33$. Cela signifie qu'il n'y a qu'environ 33 % de chances d'être réellement malade sachant que le test est positif. Ce paradoxe apparent s'explique par la rareté de la maladie dans la population globale.