Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution de deux populations (Villes A et B) à l'aide des suites numériques. Il s'agit d'un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques, combinant les deux types de croissance fondamentaux : la croissance linéaire (arithmétique) et la croissance exponentielle (géométrique). L'objectif final est de comparer ces évolutions sur le long terme via un calcul de termes et un algorithme en Python.

Points de vigilance et notions de cours

• Ville A (Croissance en %) : Une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{2}{100} = 1,02$. La suite est donc géométrique de raison $q = 1,02$.
• Ville B (Croissance constante) : Une augmentation fixe de 110 habitants par an définit une suite arithmétique de raison $r = 110$.
• L'algorithme de seuil : La boucle while (Tant que) s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée. Pour trouver quand A dépasse B, on doit boucler tant que A est inférieur ou égal à B.

Correction détaillée

1. Calcul des premiers termes (2011)

Pour l'année 2011 ($n=1$) :
- Ville A : $u_1 = u_0 \times 1,02 = 4600 \times 1,02 = 4692$ habitants.
- Ville B : $v_1 = v_0 + 110 = 5100 + 110 = 5210$ habitants.

2. Nature des suites

$(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 4600$ et de raison $q = 1,02$.
$(v_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $v_0 = 5100$ et de raison $r = 110$.

3. Expression de $u_n$ et calcul pour 2020

Formule générale : $u_n = u_0 \times q^n = 4600 \times 1,02^n$.
En 2020 ($n = 10$) : $u_{10} = 4600 \times 1,02^{10} \approx 5607$ habitants (arrondi à l'unité).

4. Expression de $v_n$ et calcul pour 2020

Formule générale : $v_n = v_0 + n \times r = 5100 + 110n$.
En 2020 ($n = 10$) : $v_{10} = 5100 + 110 \times 10 = 5100 + 1100 = 6200$ habitants.

5. Algorithme Python

Voici l'algorithme complété :
while u <= v: (On continue tant que A ne dépasse pas B)
    u = u * 1.02
    v = v + 110
    n = n + 1