Introduction au Sujet 23 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 23 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent entraînement pour les élèves souhaitant consolider leurs bases. Ce sujet balaye une large partie du programme : du second degré à la dérivation, en passant par les probabilités conditionnelles et les suites numériques. L'approche est équilibrée entre questions de cours directes (QCM) et problèmes de modélisation (suites et probabilités).

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points nécessite une grande polyvalence. Il aborde plusieurs thématiques fondamentales :

• Second degré : La première question demande d'identifier la courbe représentative d'un trinôme. Le coefficient de $x^2$ étant négatif ($a = -1$), la parabole est orientée vers le bas. Les racines (solutions de $-x^2 - x + 6 = 0$) sont cruciales pour trancher entre les options.
• Exponentielle : On teste ici la maîtrise des propriétés algébriques. Rappelons que $e^{2x} = (e^x)^2$.
• Géométrie repérée : Les questions 3 et 4 portent sur les droites. Pour l'intersection, la résolution d'un système linéaire est la méthode attendue. Pour la perpendicularité, l'utilisation des vecteurs normaux et du produit scalaire (nul si perpendiculaire) est le chemin le plus rapide.
• Python : L'algorithme propose une boucle 'while'. Il est conseillé de simuler les étapes au brouillon pour ne pas se tromper sur la dernière valeur de la variable k.

Exercice 2 : Étude de fonction et dérivation

L'exercice se concentre sur la fonction quotient $f(x) = \frac{e^x}{1+x}$. Le piège classique ici réside dans la dérivation. Il faut impérativement utiliser la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = e^x$ et $v(x) = 1+x$.

L'étude du signe de la dérivée est simplifiée par le fait que l'exponentielle est toujours positive sur $\mathbb{R}$. Le signe ne dépend donc que du numérateur obtenu après factorisation. Enfin, l'équation de la tangente $\mathcal{T} : y = f'(a)(x - a) + f(a)$ permet de vérifier si l'origine $(0;0)$ appartient à la droite en remplaçant $x$ et $y$ par 0.

Exercice 3 : Probabilités conditionnelles

Ce problème de gestion de stock de chaudières utilise un tableau à double entrée ou un arbre pondéré. Conseil méthodologique : Commencez par remplir le tableau avec les effectifs réels (1% de 900 et 6% de 600) avant de passer aux probabilités. La formule des probabilités totales est ici implicite dans la question 3. Pour l'indépendance, vérifiez si $P(D \cap V) = P(D) \times P(V)$. Si l'égalité n'est pas vérifiée, les évènements sont dépendants.

Exercice 4 : Modélisation par les suites numériques

Le contexte d'un jeu vidéo permet d'opposer deux types d'évolutions :

• La suite arithmétique : Le gain de 10 pions blancs par minute définit une suite $(u_n)$ de raison $r = 10$.
• La suite géométrique : La diminution de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de $0,98$ (soit $1 - 0,02$). La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = 0,98$.

L'utilisation de l'expression du terme général ($u_n = u_0 + nr$ et $v_n = v_0 \times q^n$) est indispensable. La dernière question s'appuie sur une lecture de tableur pour comparer les deux stocks au bout de 45 minutes.

Conclusion

Ce sujet 23 est très formateur car il demande de passer rapidement d'un outil mathématique à un autre. La clé de la réussite réside dans la rigueur des calculs de dérivation et la bonne identification des modèles de suites.