Introduction au Sujet 51 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 51 de la session 2020 des épreuves communes de contrôle continu (E3C) représente un excellent support d'entraînement pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Ce sujet balaie une large partie du programme : géométrie analytique, trigonométrie, fonctions polynômes du second degré, fonctions exponentielles et suites numériques. La difficulté est équilibrée, alternant entre des questions de cours directes (QCM) et des problèmes de modélisation plus concrets (physique acoustique et économie).

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice de 5 points teste la rapidité et la précision sur des notions fondamentales.

• Géométrie repérée (Questions 1 et 2) : La question 1 porte sur l'équation cartésienne d'un cercle. Le piège classique est d'oublier que l'équation est de la forme $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$. Ici, avec un rayon de 4, le membre de droite doit être 16. La question 2 concerne l'orthogonalité. Rappelez-vous qu'une droite d'équation $ax+by+c=0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(a;b)$. Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul).
• Trigonométrie (Question 3) : L'utilisation des formules d'angles associés est requise. Savoir que $\sin(\pi-x) = \sin(x)$ et $\cos(x+\pi/2) = -\sin(x)$ permet d'aboutir instantanément au résultat.
• Second degré (Question 4) : On demande les variations d'une parabole. Le coefficient $a = -3$ étant négatif, la fonction est d'abord croissante puis décroissante. Le sommet est atteint en $x = -b/(2a) = -1/(2 \times -3) = 1/6$.
• Variables aléatoires (Question 5) : Le calcul de l'espérance $E(G) = \sum p_i x_i$ permet de poser une équation simple pour trouver la valeur de $x$. Attention à bien convertir les fractions et décimaux pour ne pas faire d'erreur de calcul.

Exercice 2 : Analyse de la fonction Exponentielle et Python

Cet exercice modélise la décroissance de la puissance sonore d'une corde de guitare. La fonction étudiée est de la forme $f(t) = Ce^{kt}$.

Notions clés : La dérivation de $e^{ut}$ est $u'e^{ut}$. Ici, $f'(t) = 120 \times (-0,14)e^{-0,14t}$. Comme l'exponentielle est toujours positive et $-16,8 < 0$, la fonction est strictement décroissante, ce qui est cohérent avec l'amortissement d'un son.

Partie Algorithmique : Le script Python utilise une boucle while pour déterminer le temps nécessaire pour que la puissance passe sous la barre des 60 watts (soit la moitié de la puissance initiale). C'est une application directe de la recherche de seuil.

Exercice 3 : Suites Numériques et Modélisation

Le duel classique entre croissance arithmétique et croissance géométrique est ici appliqué à la vente de journaux.

• Suite Géométrique ($u_n$) : Une progression de 3% correspond à un coefficient multiplicateur de $1,03$. C'est une suite géométrique de premier terme $u_1=1000$ et de raison $q=1,03$.
• Suite Arithmétique ($v_n$) : Un ajout constant de 40 unités définit une suite arithmétique.
• Comparaison : Bien que la suite arithmétique commence plus fort (elle gagne 40 journaux dès la semaine 2 contre 30 pour la géométrique), la croissance exponentielle finit toujours par rattraper la croissance linéaire. Le tableau de valeurs montre que le basculement s'opère à la semaine 21.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et Variables Aléatoires

L'exercice traite de la provenance de chatons dans une animalerie. L'outil indispensable ici est l'arbre pondéré.

Pièges à éviter : Ne confondez pas $P(A \cap B)$ (probabilité de l'intersection) et $P_A(B)$ (probabilité conditionnelle). La formule des probabilités totales est nécessaire pour calculer la probabilité globale d'avoir un chaton de couleur Chocolat.

La dernière question lie les probabilités au gain financier (variable aléatoire $X$). Pour établir la loi de probabilité, il faut associer chaque prix (75€ ou 100€) à sa probabilité respective calculée précédemment. C'est une conclusion classique qui vérifie la compréhension globale du chapitre.

Conclusion et Méthodologie

Pour réussir ce type de sujet, il est crucial de maîtriser les bases de la dérivation et des suites. L'usage de la calculatrice est souvent autorisé, mais la capacité à interpréter un résultat (comme la décroissance d'un son ou le seuil de rentabilité d'un journal) est ce qui différencie une bonne copie d'une excellente copie. Relisez toujours les questions de Python pour comprendre la condition d'arrêt des boucles.