Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'application des probabilités conditionnelles dans un contexte médical (test de dépistage). L'objectif est de modéliser une situation réelle à l'aide d'un arbre pondéré et de calculer la probabilité de différents événements, notamment la probabilité a posteriori (formule de Bayes).

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable ici. Il faut bien distinguer les probabilités simples (comme \(P(A)\)) des probabilités conditionnelles (comme \(P_A(T)\)).
• La formule des probabilités totales : Utilisée à la question 2 pour calculer \(P(T)\), elle nécessite d'additionner les probabilités des différents chemins menant à l'événement \(T\).
• Interprétation : Ne pas confondre la probabilité d'être malade sachant que le test est positif avec la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade.

Correction détaillée

Données de l'énoncé : \(P(A) = 0,015\), donc \(P(\overline{A}) = 0,985\). Pour les tests : \(P_A(T) = 0,95\) et \(P_{\overline{A}}(\overline{T}) = 0,99\), d'où \(P_{\overline{A}}(T) = 0,01\).

1. Probabilité que le test soit positif et la personne non malade :
On cherche \(P(\overline{A} \cap T) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(T) = 0,985 \times 0,01 = 0,00985\).

2. Probabilité que le test soit positif \(P(T)\) :
D'après la formule des probabilités totales :
\(P(T) = P(A \cap T) + P(\overline{A} \cap T)\)
\(P(T) = (0,015 \times 0,95) + 0,00985 = 0,01425 + 0,00985 = 0,0241\).

3. Calcul de \(P_T(\overline{A})\) et interprétation :
\(P_T(\overline{A}) = \frac{P(T \cap \overline{A})}{P(T)} = \frac{0,00985}{0,0241} \approx 0,409\) (arrondi à \(10^{-3}\)).
Interprétation : Cela signifie que parmi les personnes ayant obtenu un test positif, environ 40,9 % ne sont en réalité pas atteintes par la maladie M. C'est ce qu'on appelle le taux de faux positifs au sein des résultats positifs.