Analyse de l'énoncé
Cet exercice de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent support pour réviser les fondamentaux des probabilités en classe de Première Spécialité. Il aborde trois piliers majeurs : les probabilités conditionnelles dans une situation d'urne, l'indépendance liée à des tirages successifs avec remise, et l'étude d'une variable aléatoire discrète (loi de probabilité et espérance).
Points de vigilance et notions de cours
- Probabilités conditionnelles : Il est crucial de distinguer la probabilité de l'intersection \(P(A \cap B)\) de la probabilité conditionnelle \(P_A(B)\). La première correspond au cas où les deux événements se réalisent simultanément.
- Arbre de probabilité : Bien que non demandé, esquisser un arbre pondéré au brouillon est la méthode la plus sûre pour ne pas se tromper dans les calculs de probabilités totales.
- Tirages avec remise : Cette mention implique que les épreuves sont indépendantes, permettant de multiplier simplement les probabilités entre elles.
- Espérance mathématique : La formule \(E(X) = \sum p_i x_i\) doit être connue par cœur pour calculer le gain moyen sur le long terme.
Guide de résolution détaillé
Question 1 : On cherche \(P(R \cap G)\). On sait que \(P(R) = 150/200 = 0,75\) et que parmi les rouges, 20 % sont gagnants, soit \(P_R(G) = 0,2\). On a \(P(R \cap G) = P(R) \times P_R(G) = 0,75 \times 0,2 = 0,15\). La réponse correcte est la c.
Question 2 : Utilisons la formule des probabilités totales : \(P(G) = P(R \cap G) + P(B \cap G)\). Calculons \(P(B \cap G) = P(B) \times P_B(G) = (50/200) \times 0,4 = 0,25 \times 0,4 = 0,1\). Ainsi, \(P(G) = 0,15 + 0,1 = 0,25\). La réponse correcte est la c.
Question 3 : Les tirages sont indépendants avec remise. La probabilité de tirer un rouge est \(P(R) = 0,75\). Pour deux rouges : \(0,75 \times 0,75 = 0,5625\). La réponse correcte est la a.
Question 4 : On regarde le tableau de la loi de probabilité. L'événement \((X > 0)\) ne concerne que la valeur \(X = 10\) car \(0\) n'est pas strictement supérieur à \(0\). Donc \(P(X > 0) = P(X = 10) = 0,25\). La réponse correcte est la d.
Question 5 : Calcul de l'espérance \(E(X) = (-5 \times 0,6) + (0 \times 0,15) + (10 \times 0,25) = -3 + 0 + 2,5 = -0,5\). La réponse correcte est la b.