Analyse du Sujet 21 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 21 des épreuves communes de 2020 représente un excellent test de synthèse pour les élèves de Première en spécialité mathématiques. D'une difficulté équilibrée, il balaie les piliers du programme : les suites numériques, les fonctions (second degré et exponentielle), la géométrie repérée par le produit scalaire et les probabilités conditionnelles. L'intégration de l'algorithmie via Python dans l'exercice sur l'exponentielle souligne l'importance de la compétence numérique dans le cursus actuel.

Exercice 1 : QCM Multi-notions (Suites, Second degré)

Cet exercice de type QCM évalue la rapidité et la précision des connaissances fondamentales.

• Question 1 & 2 : On y traite des suites arithmétiques. Le piège classique est la confusion dans l'indice lors du calcul de la somme (nombre de termes = dernier indice - premier indice + 1). Pour la raison de la suite, il faut utiliser la formule $u_n = u_p + (n-p)r$.
• Question 3 : Porte sur la limite d'une suite géométrique. Ici, la raison $q=0,3$ est comprise entre -1 et 1, donc la suite converge vers 0, indépendamment de $v_0$.
• Question 4 & 5 : Focus sur le second degré. Il faut savoir lire une forme canonique pour déterminer les variations (le signe de $a$ et la valeur de $\alpha$) et résoudre une inéquation du second degré en trouvant les racines de $x^2-5x+6$ (2 et 3).

Conseil méthodologique : Dans un QCM sans justification, utilisez l'élimination de réponses et vérifiez rapidement vos résultats par des valeurs test.

Exercice 2 : Exponentielle et Modélisation (Refroidissement)

Cet exercice utilise la fonction exponentielle pour modéliser le refroidissement de pièces en acier. C'est une application concrète de la fonction $f(t) = Ce^{kt} + T_{ambiante}$.

• Notions clés : Calcul de l'image $f(0)$, dérivation de $e^{ut}$ (donnant $u'e^{ut}$) pour prouver la décroissance.
• Algorithmique Python : La structure de la boucle while est centrale. L'élève doit comprendre que la boucle continue tant que la température est supérieure au seuil de modelage (600°C).
• Pièges à éviter : Attention aux unités (heures vs minutes) et à la précision demandée (arrondi à 0,1 près).

Exercice 3 : Géométrie repérée et Produit scalaire

L'exercice demande de manipuler les vecteurs et le produit scalaire dans un repère orthonormé pour calculer des distances et des aires.

• Calcul vectoriel : Utilisation de la formule analytique $XX' + YY'$ pour le produit scalaire.
• Projection orthogonale : La relation $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AD}$ est la clé pour trouver la longueur $AD$ sans connaître les coordonnées de $D$. Rappel : $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = AB \times AD$ si les vecteurs sont colinéaires de même sens.
• Aire du triangle : On utilise la base $AB$ et la hauteur issue de $C$. Le calcul de la hauteur nécessite souvent le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le projeté orthogonal.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et Arbre pondéré

Une situation classique de répartition d'employés dans des services (A, B, C) avec une caractéristique (temps de trajet).

• Construction de l'arbre : Veillez à ce que la somme des probabilités issues d'un même nœud soit toujours égale à 1.
• Probabilités totales : Pour montrer que $p(T) = 0,482$, il faut sommer les probabilités des trois chemins menant à $T$ ($A \cap T, B \cap T, C \cap T$).
• Inversion de conditionnement : La dernière question demande $p_T(C)$. C'est l'application directe de la formule $p_T(C) = \frac{p(C \cap T)}{p(T)}$.

Erreur fréquente : Confondre $p(C \cap T)$ (probabilité de l'intersection) avec $p_C(T)$ (probabilité donnée dans l'énoncé).

Conclusion

Ce sujet 21 est complet. Il demande une bonne maîtrise technique du calcul littéral (second degré, produit scalaire) et une capacité à interpréter des modèles mathématiques (exponentielle, probabilités). Pour réussir, la rigueur dans la rédaction des calculs de probabilités et la compréhension des variations de fonctions sont indispensables.