Analyse du Sujet 39 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Ce sujet de l'épreuve de contrôle continu (E3C) de 2020 offre une vue d'ensemble complète du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il se compose de quatre exercices indépendants traitant des piliers fondamentaux : analyse de fonctions, suites numériques, probabilités et géométrie analytique. D'un niveau de difficulté équilibré, il demande à l'élève non seulement des connaissances techniques (calcul de racines, probabilités conditionnelles), mais aussi une capacité à faire le lien entre différents domaines, notamment entre l'algèbre et la géométrie.

Exercice 1 : Un QCM de Balayage

Le premier exercice est un QCM de 5 points couvrant plusieurs thématiques :

• Trigonométrie : La question porte sur les propriétés de périodicité. Savoir que $\cos(25\pi + x) = \cos(\pi + x)$ car $24\pi$ est un multiple de $2\pi$. La réponse est $-\cos(x)$.
• Dérivation et Lecture Graphique : L'élève doit identifier que le coefficient directeur de la tangente en un point $a$ est $f'(a)$. Ici, le tableau de variation indique une valeur nulle pour la dérivée en $x=3$.
• Probabilités : Un rappel sur l'indépendance d'événements : $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$.
• Second degré : La résolution de l'inéquation $-3x^2 + 11x + 1 \leq -3$ nécessite de se ramener à un polynôme de la forme $ax^2 + bx + c \leq 0$ et d'étudier le signe de ses racines.
• Variables Aléatoires : Une lecture simple de tableau pour calculer $P(X \geq 2)$, ce qui inclut les issues 2, 5 et 10.

Exercice 2 : Optimisation et Géométrie Repérée

Cet exercice est particulièrement intéressant car il utilise l'analyse de fonctions pour résoudre un problème géométrique. On définit une fonction $f(x) = x^2 - 3x + 4$ et on cherche le point $M$ sur la courbe de la fonction racine carrée le plus proche d'un point $A(2, 0)$.

Pièges à éviter : Lors de l'expression de la distance $AM$, beaucoup d'élèves oublient que minimiser $AM$ revient à minimiser $AM^2$. L'exercice guide intelligemment vers cette simplification. Pour la question sur la perpendicularité, il est crucial d'utiliser soit le produit des coefficients directeurs ($-1$), soit le produit scalaire entre le vecteur $\vec{AB}$ et le vecteur directeur de la tangente.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique Python

Le thème classique du rebond d'une balle est utilisé pour introduire les suites géométriques. Avec une perte de 25% de hauteur à chaque rebond, le coefficient multiplicateur est $1 - 0,25 = 0,75$.

Conseils méthodologiques :

• Bien identifier le premier terme $h_0 = 3$.
• Pour la partie Python, la structure de la boucle while (tant que) est essentielle. Pour trouver quand la hauteur est inférieure à 10 cm ($0,1$ m), la condition doit être while h > 0.1.

L'arrondi au centimètre pour $h_6$ demande de passer du mètre au centimètre après calcul, une étape où l'étourderie est fréquente.

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice final traite des arbres pondérés. La difficulté réside souvent dans l'interprétation des phrases en termes de probabilités : "parmi ceux venant en famille, 35% profitent..." se traduit par une probabilité conditionnelle $P_F(A) = 0,35$.

L'utilisation de la formule des probabilités totales est requise pour démontrer $P(A) = 0,33$. Enfin, la dernière question demande de calculer $P_A(F)$, soit la probabilité que le campeur soit en famille sachant qu'il profite des activités. C'est l'application directe de la définition : $P_A(F) = \frac{P(F \cap A)}{P(A)}$.

Conclusion

Le sujet 39 est un excellent support de révision pour les E3C. Il balaie une large partie du programme de Première. Pour réussir, il faut maîtriser la rigueur rédactionnelle, notamment dans l'étude de signe du second degré et la justification des suites géométriques. La présence de Python souligne l'importance de l'informatique dans le cursus mathématique actuel.