Analyse du Sujet 8 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 8 de l'année 2020 pour la Première Spécialité Mathématiques est un excellent test de synthèse. Il couvre une large partie du programme officiel, allant de l'analyse fonctionnelle à la géométrie analytique, sans oublier les probabilités et les suites. Ce sujet se distingue par son équilibre entre la rigueur de calcul et la compréhension conceptuelle, notamment via l'interprétation d'un script Python.

Introduction : Un sujet complet et structuré

Ce sujet est composé de quatre exercices notés sur 5 points chacun. La difficulté est progressive, commençant par un QCM multi-thématique pour finir sur de la géométrie repérée exigeante. Pour un élève de première, la réussite de ce sujet repose sur la maîtrise des automatismes (calcul de dérivées, propriétés de l'exponentielle) et sur la capacité à modéliser une situation concrète (croissance d'abonnés, concentration d'un médicament).

Exercice 1 : QCM - Maîtrise des fondamentaux

Cet exercice balaye cinq domaines clés :

• Question 1 (Exponentielle) : Utilisation des propriétés de l'exponentielle (e^a / e^b). Le piège classique est l'erreur de signe lors de la soustraction des exposants.
• Question 2 (Suites) : Calcul de termes d'une suite définie par récurrence. Il faut être rigoureux dans les étapes successives (u1, u2 puis u3).
• Question 3 (Probabilités conditionnelles) : Application de la formule des probabilités totales. La construction d'un arbre pondéré est indispensable ici pour ne pas se tromper dans les branches.
• Question 4 (Trigonométrie) : Utilisation de la relation cos²x + sin²x = 1. L'information sur l'intervalle [-π/2 ; 0] est cruciale pour déterminer le signe du sinus (qui sera négatif).
• Question 5 (Variables aléatoires) : Calcul simple d'une espérance mathématique.

Exercice 2 : Les suites numériques et la modélisation

L'exercice porte sur une suite arithmétique modélisant la croissance d'abonnés sur un réseau social. C'est une application directe du cours :

• Notions clés : Identification d'une raison constante (r = 750), passage de la forme récurrente à la forme explicite (un = u0 + nr).
• Pièges à éviter : Ne pas confondre l'indice n avec l'année calendaire (n=0 pour 2019).
• Conseils : Pour la question 5, la résolution de l'inéquation u0 + 750n >= 3 * u0 permet de trouver l'année précise sans tâtonnement excessif.

Exercice 3 : Analyse, Dérivation et Python

Cet exercice traite de la concentration d'un médicament via une fonction polynôme de degré 3. C'est la partie la plus riche en termes de compétences :

• Algorithmique : Le script Python est un test de seuil. Il faut comprendre que la liste renvoie des '1' (vrai) quand la condition de concentration est remplie.
• Dérivation : Le calcul de f'(x) est standard, mais la suite demande de manipuler l'équation d'une tangente.
• Position relative : L'étude du signe de la différence (f(x) - tangente) est facilitée par l'identité remarquable (x-4)^3. C'est un excellent exercice sur le lien entre signe de la dérivée et variations, mais aussi sur l'aspect géométrique des courbes.

Exercice 4 : Géométrie repérée et Produit scalaire

La géométrie analytique ferme la marche. Les questions sont classiques mais demandent une grande précision :

• Notions clés : Vecteur normal (a, b) tiré de l'équation ax + by + c = 0, perpendicularité de deux droites (produit scalaire des vecteurs directeurs nul).
• Projection orthogonale : C'est souvent le point noir des élèves. Il faut résoudre un système d'équations (le point H appartient à la fois à (d) et à sa perpendiculaire passant par A).
• Distance : Le calcul de la distance AH correspond à la distance d'un point à une droite, notion fondamentale pour les problèmes d'optimisation en géométrie.

Conclusion

Le sujet 8 de 2020 est un modèle du genre pour préparer les épreuves de contrôle continu. Il demande une bonne gestion du temps, car chaque exercice sollicite des zones différentes du cerveau mathématique. Un élève capable de traiter l'exercice 3 et 4 avec aisance montre une excellente maturité pour le passage en Terminale Spécialité.