Introduction au Sujet 29 de l'Épreuve de Contrôle Continu

Le sujet 29 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première constitue un excellent panorama du programme. Avec un équilibre parfait entre l'analyse fonctionnelle, les probabilités discrètes et la géométrie analytique, il demande aux élèves une grande agilité mentale. La difficulté globale est jugée modérée, mais elle exige une rigueur particulière dans la lecture des énoncés et la maîtrise des calculs algébriques de base (second degré, dérivées de produits).

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

L'exercice 1 est un QCM de 5 points balayant des piliers du programme :

• Probabilités : Utilisation des probabilités totales sur un arbre pondéré. Le piège classique réside dans l'oubli de sommer les différents chemins menant à l'événement D.
• Second degré : Résolution d'une inéquation. Il faut identifier les racines du trinôme et appliquer la règle du signe de a à l'extérieur des racines. Ici, a = -2 (négatif), donc l'inéquation est négative à l'extérieur de [-3 ; 0,5].
• Géométrie repérée : Identification d'un vecteur normal à partir de l'équation cartésienne ax + by + c = 0. Le vecteur normal est directement donné par les coefficients (a, b).
• Cercle : L'équation d'un cercle (x-x_A)² + (y-y_A)² = R². Le développement nécessite une attention particulière aux identités remarquables.
• Suites : Analyse d'une suite définie par récurrence. Attention, cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique car la raison dépend de n.

Exercice 2 : Probabilités et Variables Aléatoires

Cet exercice repose sur l'analyse d'un tableau croisé d'effectifs (150 adhérents). La première étape cruciale est la conversion des effectifs en probabilités.

Notions clés : On y travaille la probabilité conditionnelle (sachant que l'adhérent a 18 ans). La seconde partie introduit la variable aléatoire X (âge). Le calcul de l'espérance E(X) permet de déterminer l'âge moyen des membres du club. Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités de la loi de X est égale à 1 pour éviter toute erreur de report.

Exercice 3 : Analyse Fonctionnelle et Exponentielle

L'étude de la fonction f(t) = t * exp(-0,5t) est le cœur de cet examen. Elle modélise la concentration d'un médicament, un classique des problèmes de mathématiques appliquées.

Analyse de la dérivée : La fonction est de la forme u * v. La dérivée requiert la formule (uv)' = u'v + uv'. L'étude du signe de la dérivée est simplifiée par le fait que l'exponentielle est toujours positive sur ℝ. Le signe dépend donc uniquement du facteur affine (1 - 0,5t).

Piège à éviter : Ne pas oublier de préciser l'unité (mg.L⁻¹) lors de l'interprétation du maximum et de l'image de 4. La valeur maximale est atteinte quand la dérivée s'annule, soit à t = 2 heures.

Exercice 4 : Suites Géométriques et Algorithmique Python

Le sujet se termine par une application économique des suites. L'augmentation annuelle de 3 % se traduit par un coefficient multiplicateur de 1,03, caractérisant une suite géométrique.

Algorithmie : La fonction Python utilise une boucle while. La condition d'arrêt est u < 1000. Tant que le prix n'a pas atteint le seuil, on incrémente l'année et on applique le coefficient au prix.

Conseil : Pour la question 5, si vous n'avez pas de calculatrice programmable sous la main, l'utilisation du logarithme (bien que souvent vu plus tard) ou une simple suite de multiplications permet de trouver le rang n tel que 600 * 1,03ⁿ > 1000.

Conclusion

Ce sujet 29 est complet et formateur. Il récompense les élèves qui maîtrisent les fondamentaux : calcul de dérivée, lecture d'arbre de probabilité et manipulation des suites géométriques. La partie Python est très accessible si l'on comprend la structure d'une boucle de recherche de seuil.