Introduction au Sujet 17 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 17 de la session 2020 des Épreuves Communes de Contrôle Continu (E3C) constitue un excellent support de révision pour les élèves de Première en spécialité mathématiques. Ce sujet est particulièrement équilibré, couvrant les piliers du programme : les probabilités, l'analyse de fonctions, les suites numériques et la géométrie analytique. La difficulté est progressive, commençant par un QCM de balayage pour finir sur un exercice de géométrie vectorielle plus conceptuel.

Exercice 1 : QCM et Balayage des Fondamentaux

Cet exercice de 5 points teste la réactivité sur des notions clés. La Question 1 porte sur les variables aléatoires et le calcul de l'espérance. Le piège classique réside dans l'oubli des signes négatifs (le gain de -5). La Question 2 concerne la géométrie repérée, spécifiquement l'équation de cercle. Attention à la forme $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ : les signes dans les parenthèses sont opposés aux coordonnées du centre.

La Question 3 demande une lecture graphique liée au second degré. Il faut observer l'orientation de la parabole (coefficient a) et l'intersection avec l'axe des ordonnées (coefficient c). Pour les Questions 4 et 5, on aborde les suites et l'algorithmie. La distinction entre une suite arithmétique et géométrique est fondamentale : ici, la présence d'un multiplicateur (2) et d'une constante ajoutée (-5) indique une suite arithmético-géométrique, donc ni l'un ni l'autre.

Exercice 2 : Analyse et Dérivation

L'exercice 2 se concentre sur l'étude d'une fonction rationnelle $f(x) = (x^2+1)/(x+1)$. La première étape est la dérivation. L'utilisation de la formule du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ est impérative. Une erreur fréquente est d'oublier les parenthèses lors du développement de $u'v$, ce qui fausse le signe du numérateur.

Le sens de variation découle du signe de $f'(x)$. Le dénominateur étant un carré, il est toujours positif sur l'ensemble de définition ; l'étude se ramène donc au signe d'un trinôme du second degré. Enfin, l'étude de la position relative de la courbe par rapport à la droite $y=x$ nécessite d'étudier le signe de la différence $f(x) - x$. C'est une méthode classique de Première qui permet de comprendre si la courbe est au-dessus ou en-dessous de l'asymptote ou de la droite de référence.

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

Ici, l'élève doit modéliser une situation de jeu vidéo à l'aide d'un arbre pondéré. Les probabilités conditionnelles sont au cœur de l'énoncé. La question 2 demande de calculer l'intersection $P(B \cap V)$, ce qui correspond à un chemin spécifique sur l'arbre. La question 3 utilise la formule des probabilités totales, sommant les probabilités de victoire contre le monstre A et le monstre B.

La dernière question porte sur l'inversion des probabilités (formule de Bayes) : calculer $P_V(B)$. C'est le point le plus délicat pour les élèves, car il faut bien distinguer la probabilité de gagner sachant qu'on affronte B (donnée par l'énoncé) de la probabilité d'avoir affronté B sachant que l'on a gagné (résultat calculé).

Exercice 4 : Géométrie et Produit Scalaire

Ce dernier exercice traite du produit scalaire dans une configuration géométrique (carrés et rectangles). L'énoncé suggère l'utilisation d'un repère orthonormé, ce qui est souvent la méthode la plus sûre pour les élèves de Première. En posant des coordonnées pour chaque point (O, A, B, C, D, E, F, M), le calcul du produit scalaire devient purement algébrique.

L'orthogonalité des droites (OM) et (DC) se vérifie par la nullité du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs. Pour la longueur CH, l'utilisation du projeté orthogonal $H$ permet d'utiliser la relation $\vec{CD} \cdot \vec{CM} = CD \times CH$ (si les vecteurs sont colinéaires de même sens). C'est une application directe de la définition géométrique du produit scalaire.

Conclusion

Le sujet 17 est complet et formateur. Il ne présente pas de difficultés insurmontables mais exige une grande rigueur dans les calculs de dérivées et une bonne maîtrise de l'outil vectoriel. Pour réussir, l'élève doit impérativement maîtriser ses formules de dérivation et savoir passer d'une vision géométrique à une vision analytique (coordonnées).