Analyse Globale du Sujet 55 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 55 des épreuves communes de contrôle continu (E3C) de 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première est un sujet équilibré qui balaie les notions fondamentales du programme. D'une difficulté modérée, il exige une bonne maîtrise des mécanismes de calcul (dérivation, forme canonique) et une capacité à modéliser des situations concrètes (optimisation d'aire, évolution de stock). L'analyse se décline en quatre exercices distincts couvrant l'analyse, la géométrie, et l'algorithmique.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points teste la rapidité et la précision sur des notions de base. La question 1 porte sur la tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 ($y = f'(0)(x-0) + f(0)$). C'est un classique : puisque $e^0=1$ et $(e^x)'=e^x$, l'équation est $y=x+1$. La question 2 demande la dérivation d'une fonction composée du type $e^u$. Le piège fréquent est d'oublier de multiplier par $u'$. Ici, la dérivée de $-2x+6$ est $-2$, d'où le résultat $-2e^{-2x+6}$.

En géométrie (Question 3 et 5), la lecture de coordonnées de vecteurs et le passage d'une équation cartésienne au coefficient directeur sont évalués. Rappel : pour $ax + by + c = 0$, le coefficient directeur est $-a/b$. Enfin, la trigonométrie (Question 4) impose de tester la parité. Comme $\sin(-x) - \cos(-x) = -\sin(x) - \cos(x)$, la fonction n'est ni paire ni impaire. Conseil : Ne pas se précipiter sur le QCM, un brouillon rapide pour chaque question est indispensable.

Exercice 2 : Optimisation et Second Degré

Cet exercice est une application directe du chapitre sur le Second Degré. Le problème consiste à maximiser l'aire d'un enclos rectangulaire. La première difficulté est la modélisation : si $x$ est le côté perpendiculaire au mur, et qu'il y a 28m de grillage, le côté parallèle au mur mesure $28 - 2x$. L'aire est donc $x(28-2x) = -2x^2 + 28x$.

La démonstration de la forme canonique (Question 1b) est cruciale. Elle permet d'identifier immédiatement le sommet de la parabole. En passant de $-2x^2 + 28x$ à $-2(x-7)^2 + 98$, on comprend que la fonction atteint son maximum pour $x=7$. Piège à éviter : Confondre la courbe représentative. La parabole doit être tournée vers le bas ($a = -2 < 0$) et passer par l'origine ($A(0)=0$), ce qui permet d'identifier $C_2$ sans ambiguïté.

Exercice 3 : Géométrie Repérée et Produit Scalaire

L'exercice 3 lie les équations de droites et le produit scalaire dans un triangle. On y travaille sur les hauteurs. La question 1 montre qu'une droite perpendiculaire à une droite verticale (AB est sur la ligne $x=7$) est une droite horizontale ($y=1$).

La question finale sur le produit scalaire $\vv{AH} \cdot \vv{CB}$ est subtile. Si H est l'intersection de deux hauteurs, alors H est l'orthocentre du triangle ABC. Par définition, la droite (AH) est la troisième hauteur du triangle, elle est donc perpendiculaire au côté opposé [CB]. Le produit scalaire est donc nul. Conseil méthodologique : Toujours faire un schéma, même si le repère est fourni, pour visualiser les propriétés d'orthogonalité.

Exercice 4 : Suites Numériques et Algorithmique Python

Le dernier exercice porte sur les suites arithmético-géométriques, un pilier de la Première Spécialité. La Partie A introduit une suite de type $u_{n+1} = au_n + b$ et demande d'interpréter un script Python. La boucle for i in range(n) indique que l'on calcule le terme de rang $n$.

La Partie B est plus technique avec l'introduction d'une suite auxiliaire géométrique $(w_n)$. La méthode est classique : exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $v_{n+1}$, puis de $v_n$, et enfin de $w_n$. On trouve $w_{n+1} = 0,95w_n$. L'interprétation du second programme Python (boucle while) est essentielle : il s'agit d'un algorithme de seuil. La fonction objet(70) cherche l'année à partir de laquelle le stock d'ouvrages dépassera 70 000. Le résultat 27 signifie qu'en $2020 + 27 = 2047$, la capacité sera atteinte.

Conclusion

Ce sujet 55 est une excellente préparation pour les épreuves de Terminale. Il demande de l'agilité entre les représentations graphiques, les calculs algébriques et la logique algorithmique. Pour réussir, concentrez-vous sur la rigueur de la rédaction, notamment dans les justifications de suites et les calculs de dérivées.