Analyse de l'énoncé

Cet exercice de type 'Vrai/Faux' balaye trois piliers fondamentaux du programme de Première Spécialité Mathématiques : les suites numériques, les équations du second degré et la géométrie analytique via le produit scalaire. La difficulté réside dans la rigueur de la justification, car une réponse correcte sans preuve ne rapporte aucun point dans ce format d'examen.

Point de vigilance 1 : Les Suites Géométriques

La première question porte sur le sens de variation d'une suite géométrique. Il est crucial de se rappeler que pour une suite de la forme \(v_n = a imes q^n\) avec \(a > 0\), le sens de variation dépend de la position de la raison \(q\) par rapport à 1. Si \(0 < q < 1\), la suite est strictement décroissante.

• \(v_n = 3 imes (0,25)^n\).
• \(a = 3\) (positif) et \(q = 0,25\).
• Puisque \(0 < 0,25 < 1\), la suite \((v_n)\) diminue vers 0. L'affirmation est donc Fausse.

Point de vigilance 2 : Le Second Degré et le Discriminant

La deuxième affirmation demande de tester l'existence d'une solution réelle pour une équation. Le réflexe doit être de transformer l'expression en une équation polynomiale de type \(ax^2 + bx + c = 0\) pour utiliser le discriminant \(\Delta\).

• \(x(1-x) = 4 \iff x - x^2 = 4 \iff -x^2 + x - 4 = 0\).
• On calcule \(\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-4) = 1 - 16 = -15\).
• Le discriminant étant strictement négatif (\(\Delta < 0\)), l'équation ne possède aucune solution réelle. L'affirmation est Vraie.

Point de vigilance 3 : Produit Scalaire en Géométrie Repérée

Pour la troisième question, l'utilisation d'un repère orthonormé est la méthode la plus efficace. En posant A comme origine \((0,0)\), on définit les coordonnées de tous les points du rectangle ABCD. C'est une technique puissante pour transformer un problème de géométrie pure en calcul algébrique simple.

• Repère \((A; \vec{i}, \vec{j})\) où \(\vec{i} = \frac{1}{4}\vec{AB}\) et \(\vec{j} = \frac{1}{3}\vec{AD}\).
• Coordonnées : \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(4,3)\), \(D(0,3)\).
• Point K : \(\vec{AK} = 0,75\vec{AB} \Rightarrow K(3,0)\).
• Point L : \(\vec{CL} = \frac{1}{3}\vec{CB} \Rightarrow \vec{CB}(0,-3)\), donc \(\vec{CL}(0,-1)\). Ainsi \(L = C + (0,-1) = (4,2)\).
• Calcul des vecteurs : \(\vec{KD}(0-3, 3-0) = (-3, 3)\) et \(\vec{KL}(4-3, 2-0) = (1, 2)\).
• Produit scalaire : \(\vec{KD} \cdot \vec{KL} = (-3 \times 1) + (3 \times 2) = -3 + 6 = 3\). L'affirmation est Vraie.