Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité est un modèle d'étude de fonction composée, liant l'étude d'un trinôme du second degré (Partie A) à celle d'une fonction exponentielle plus complexe (Partie B). L'objectif est de démontrer comment une étude préliminaire algébrique permet de justifier rigoureusement le comportement d'une courbe observé graphiquement. Ce type d'exercice prépare efficacement aux épreuves de Terminale en introduisant la notion de fonction auxiliaire pour déterminer les variations.

Points de vigilance et notions de cours

• Second degré : Savoir calculer le discriminant $\Delta$ et identifier les racines d'un trinôme. Se souvenir que l'axe de symétrie d'une parabole a pour équation $x = -b/2a$.
• Dérivation : Utilisation impérative de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
• Exponentielle : Connaître la dérivée de $e^{ax}$, qui est $a e^{ax}$. Notez que l'exponentielle est toujours strictement positive sur $\mathbb{R}$.
• Lecture graphique : Une tangente horizontale en un point signifie que le nombre dérivé en l'abscisse de ce point est nul.

Guide de résolution détaillé

Partie A : Étude du trinôme $P(x)$

Pour $P(x) = 2x^2 + x - 10$, on calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-10) = 1 + 80 = 81$. Les racines sont $x_1 = \frac{-1 - 9}{4} = -2,5$ et $x_2 = \frac{-1 + 9}{4} = 2$. L'axe de symétrie est $x = \frac{-1}{2 \times 2} = -0,25$. Le signe est positif à l'extérieur des racines ($a=2 > 0$).

Partie B : Étude de la fonction $f$

1. Puisque la tangente $T$ est horizontale au point $A$ d'abscisse 2, on en déduit que $f'(2) = 0$.
2. Graphiquement, $f'(x) < 0$ correspond aux intervalles où la fonction $f$ est strictement décroissante. On observe une décroissance entre l'extremum local (sommet) et le point $A$, soit environ sur l'intervalle $[-2,5~;~2]$.
3. Pour la dérivation : posons $u(x) = 4x^2 - 14x + 8$ et $v(x) = e^{0,5x}$. Alors $u'(x) = 8x - 14$ et $v'(x) = 0,5e^{0,5x}$. En appliquant $(uv)'$, on obtient :
$f'(x) = (8x - 14)e^{0,5x} + (4x^2 - 14x + 8) \times 0,5e^{0,5x}$.
En factorisant par $e^{0,5x}$, on trouve : $f'(x) = (8x - 14 + 2x^2 - 7x + 4)e^{0,5x} = (2x^2 + x - 10)e^{0,5x}$.
On retrouve bien $f'(x) = P(x)e^{0,5x}$.

Variations de $f$

Puisque $e^{0,5x} > 0$, $f'(x)$ est du signe de $P(x)$. D'après la partie A, $f$ est croissante sur $[-5~;~-2,5]$, décroissante sur $[-2,5~;~2]$ et croissante sur $[2~;~3]$.