Introduction au Sujet 32 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 32 de l'épreuve de contrôle continu (E3C) de 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue une excellente synthèse du programme. Ce sujet se décompose en quatre exercices de 5 points chacun, couvrant des domaines variés : géométrie analytique, probabilités conditionnelles, analyse de fonctions avec exponentielles et suites numériques. La difficulté est jugée équilibrée, idéale pour tester la maîtrise des fondamentaux avant l'entrée en Terminale.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice balaye plusieurs notions sous forme de QCM. La Question 1 porte sur les polynômes. Le piège classique réside dans le calcul du discriminant du facteur du second degré : $x^2+x+1$. Ici, $\Delta = -3$, ce qui signifie que ce polynôme ne s'annule jamais dans $\mathbb{R}$. Seul le facteur $(x-1)$ donne une solution ($x=1$), d'où une unique solution réelle.

La Question 2 teste votre connaissance de la fonction exponentielle. Puisque $e^x + 1$ est toujours strictement supérieur à 0, l'équation $f(x)=0$ se ramène à l'annulation du premier facteur $7x-23$, soit $x=23/7$.

En Géométrie repérée (Questions 3 à 5), il est crucial de connaître la forme canonique de l'équation d'un cercle : $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = r^2$. Pour l'orthogonalité des vecteurs, le produit scalaire $xx' + yy' = 0$ est l'outil indispensable. Enfin, pour l'équation de droite, l'utilisation du vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ donne directement les coefficients $a$ et $b$ de l'équation cartésienne $ax+by+c=0$.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles

Cet exercice repose sur la modélisation d'une situation industrielle (défauts de fabrication). Les notions clés sont l'arbre pondéré et la formule des probabilités totales. Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. La difficulté ici réside dans la lecture de l'énoncé : "parmi ceux-ci" indique une probabilité conditionnelle $p_D(C)$. La question 4 demande de calculer $p_C(D)$, ce qui nécessite l'utilisation de la formule $p(D \cap C) / p(C)$. C'est un grand classique des épreuves de spécialité.

Exercice 3 : Analyse et Dérivation

L'exercice 3 lie lecture graphique et calcul algébrique. La fonction étudiée est un produit de la forme $u \times v$ avec une exponentielle. Piège à éviter : Lors de la dérivation de $f(x)=(2-x)e^x$, n'oubliez pas que la dérivée de $2-x$ est $-1$. L'application de la formule $(uv)' = u'v + uv'$ est essentielle. La lecture graphique de $f'(1)=0$ (tangente horizontale) et l'équation de la tangente au point A ($y=f'(a)(x-a)+f(a)$) sont des compétences de base à maîtriser parfaitement. Le tableau de variations doit être cohérent avec le signe de la dérivée, qui dépend ici uniquement du signe de $(-x+1)$ car $e^x$ est toujours positif.

Exercice 4 : Suites Numériques

Le dernier exercice porte sur les suites arithmético-géométriques, modélisant l'évolution des inscrits dans une médiathèque. La méthode de la suite auxiliaire $v_n = a_n - 2000$ est une technique récurrente. Elle permet de transformer une relation de récurrence complexe en une suite géométrique simple dont on connaît l'expression explicite. La dernière question de seuil ($a_n \leq 2010$) peut être résolue soit par tâtonnement à la calculatrice, soit par l'utilisation des logarithmes (bien que non exigés explicitement en Première). On trouve que c'est à partir de 18 ans après 2013 que le nombre d'inscrits passera sous la barre des 2010.

Conclusion

Le sujet 32 est un modèle de ce qui est attendu à l'examen. Pour réussir, l'élève doit être rigoureux sur les calculs de dérivées et savoir interpréter graphiquement les propriétés d'une fonction. La maîtrise des suites et des probabilités garantit la moitié des points, soulignant l'importance de ces chapitres dans le cursus de mathématiques de spécialité.