Introduction : Un sujet complet et équilibré

Le sujet de mathématiques de la spécialité Première pour la session de septembre 2026 en Polynésie offre un panorama complet du programme officiel. Avec une structure classique divisée en une partie d'automatismes (QCM) et trois exercices thématiques, il permet d'évaluer tant les connaissances fondamentales que la capacité de raisonnement des élèves. Les thèmes abordés — probabilités, analyse de fonctions avec exponentielle, et suites numériques — sont les piliers de l'année de Première.

Partie 1 : Automatismes et QCM

Cette première partie de 6 points teste la réactivité des élèves sur des notions transversales. On y retrouve l'étude d'équations de second degré basiques (équation produit nul), des calculs de puissances et de fractions, ainsi que de la géométrie repérée. L'exercice sur les droites demande une lecture graphique précise pour identifier coefficients directeurs et ordonnées à l'origine.

Conseil méthodologique : Pour le QCM, ne perdez pas de temps. Si une réponse vous semble évidente par élimination (comme pour les équations de droites ou les pourcentages d'évolution), cochez-la et passez à la suite. Attention toutefois au piège classique des évolutions successives : une hausse de 10% suivie d'une baisse de 20% ne fait pas une baisse de 10% ! Il faut multiplier les coefficients (1,1 * 0,8 = 0,88, soit une baisse de 12%).

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice 1 se concentre sur les probabilités conditionnelles à travers l'utilisation d'un arbre pondéré. C'est un exercice standard mais qui nécessite une rigueur absolue dans la notation des événements.

• Notions clés : Arbre de probabilité, formule des probabilités totales, probabilité de l'intersection.
• Pièges à éviter : Ne pas confondre P(A ∩ D) et la probabilité conditionnelle P(D sachant A). La question 4 demande de calculer une probabilité « inverse » (sachant que le jeton est doré, quelle est la probabilité qu'il vienne de l'urne B), ce qui nécessite l'application de la formule de Bayes : P(B ∩ D) / P(D).

Exercice 2 : Analyse et Exponentielle

Cet exercice modélise la concentration d'un médicament. Il fait appel à la dérivation d'une fonction produit comportant une exponentielle.

La fonction f(t) = (t² + t + 1)e⁻ᵗ est typique des problèmes de Première Spé. La difficulté réside dans le calcul de la dérivée. Il faut utiliser la formule (uv)' = u'v + uv' avec u(t) = t² + t + 1 et v(t) = e⁻ᵗ. Rappelons que la dérivée de e⁻ᵗ est -e⁻ᵗ.

Conseils méthodologiques : Le signe de la dérivée dépendra uniquement du facteur polynomial (ici un second degré), car l'exponentielle est toujours strictement positive sur ℝ. L'étude du signe du trinôme permet de dresser le tableau de variations. La dernière question utilise une lecture de table de valeurs pour déterminer un seuil (t₀), une compétence liée à l'exploitation de modèles mathématiques.

Exercice 3 : Suites et Programmation Python

Le dernier exercice porte sur les suites arithmético-géométriques (un+1 = 0,8un + 300) et l'algorithmie via le langage Python.

La Partie A demande d'interpréter un script Python. La boucle 'while' s'arrête dès que le nombre de donateurs dépasse 1400. La valeur i=8 signifie qu'il faudra 8 ans (soit en 2033) pour atteindre ce seuil. En Partie B, la méthode de la suite auxiliaire (vn = un - 1500) est utilisée pour trouver la forme explicite de un. C'est une question classique de type « démonstration ».

Point de vigilance : Pour démontrer qu'une suite est géométrique, calculez toujours vn+1 en remplaçant un+1 par son expression, puis factorisez par la raison (0,8) pour faire apparaître vn. Ne vous trompez pas dans le calcul du premier terme v₀ = u₀ - 1500.

Conclusion

Ce sujet de Polynésie 2026 est une excellente base de révision. Il demande une bonne maîtrise du calcul algébrique et une compréhension claire des modèles de croissance (suites) et de décroissance (exponentielle). Pour réussir, l'élève doit être capable de passer d'un langage à l'autre : de l'énoncé textuel à l'arbre de probabilité, de la fonction au tableau de variations, et de l'algorithme à l'interprétation concrète.