Introduction au Sujet 6 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 6 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de première constitue un excellent support de révision. Il balaye un spectre large du programme officiel, allant de la géométrie analytique aux suites numériques, en passant par les probabilités conditionnelles et l'optimisation par la dérivation. D'une difficulté modérée, il demande aux élèves de maîtriser les fondamentaux tout en sachant mobiliser des compétences algorithmiques en Python.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice de 5 points teste la rapidité et la précision sur des notions clés de géométrie repérée, de trigonométrie et de dérivation.

• Notions clés : Vecteur normal d'une droite ($ax+by+c=0$), équation de cercle, produit scalaire (formule d'Al-Kashi ou de la norme), cercle trigonométrique et dérivation de fonctions composées du type $(ax+b)^n$.
• Pièges à éviter : Pour la question 1, ne pas confondre vecteur directeur $(-b; a)$ et vecteur normal $(a; b)$. Pour la question 2, bien compléter les carrés pour trouver le centre du cercle : $x^2 + 6x$ devient $(x+3)^2 - 9$.
• Conseils méthodologiques : En QCM, éliminez rapidement les réponses aberrantes. Par exemple, pour la dérivée de $(4x-7)^3$, la règle $n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ doit immédiatement vous mener à un coefficient multiplicateur de $3 imes 4 = 12$.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles

Ici, on étudie la fiabilité de téléphones portables produits par deux sous-traitants. C'est un grand classique du baccalauréat.

• Analyse : L'énoncé donne $P(A) = 0,4$, $P_A(D) = 0,04$ et la probabilité totale $P(D) = 0,034$. Il faut en déduire la part de production de B ($P(B) = 0,6$).
• Piège : La question 2 demande une probabilité inversée (Formule de Bayes). On cherche $P_D(B)$, c'est-à-dire la probabilité que l'appareil vienne de B sachant qu'il est défectueux.
• Méthode : Dessinez systématiquement un arbre pondéré. Cela permet de visualiser les chemins et d'appliquer la loi des probabilités totales sans erreur.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique

Cet exercice combine l'étude d'une suite arithmético-géométrique et sa traduction en langage Python.

• Notions clés : Calcul de termes, somme de termes d'une suite géométrique, et relation entre une suite auxiliaire et la suite principale.
• Analyse Python : On demande de compléter une boucle pour calculer la somme des 20 premiers termes. L'ordre des instructions est crucial : il faut ajouter la valeur actuelle de $U$ à $S$ avant de calculer le terme suivant $U_{n+1}$.
• Conseil : Rappelez-vous que la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q eq 1$ est donnée par $v_0 imes rac{1-q^n}{1-q}$.

Exercice 4 : Optimisation et Géométrie dans l'Espace

Le dernier exercice porte sur l'optimisation du volume d'un cône de révolution, mêlant théorème de Pythagore et étude de fonction.

• Démarche : Il faut d'abord exprimer le rayon $r$ en fonction de $h$ en utilisant le triangle rectangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice ($r^2 + h^2 = 20^2$).
• Étude de fonction : Le volume est donné par $V(h) = rac{\pi}{3}(400h - h^3)$. Pour trouver le maximum, on dérive $V(h)$ par rapport à $h$. L'étude du signe de $V'(h)$ permet de déterminer la valeur exacte de la hauteur optimale.
• Piège : Ne pas oublier que $h$ doit appartenir à l'intervalle $[0 ; 20]$.

Conclusion

Ce sujet 6 est un excellent test de synthèse pour un élève de Première Spécialité. Il exige une bonne maîtrise de la calculatrice, une rigueur dans les calculs de dérivées et une compréhension claire des structures algorithmiques de base.