Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de 2020 pour la Première Spécialité, est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) balayant trois thématiques majeures du programme : le produit scalaire (questions 1, 2 et 3), la dérivation (question 4) et le second degré (question 5). L'absence de points négatifs incite à répondre à chaque question, mais la précision reste de mise pour assurer les points.

Points de vigilance et notions de cours

• Produit scalaire : Il faut maîtriser les trois expressions : géométrique (normes et cosinus), analytique (coordonnées \(xx' + yy'\)) et la condition d'orthogonalité.
• Dérivation : La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse \(a\), \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\), est indispensable. Il faut aussi connaître la dérivée de \(1/x\).
• Second degré : Savoir transformer une équation sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) pour utiliser le discriminant \(\Delta\).

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Produit scalaire géométrique

On utilise la formule : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\). Ici, \(\cos(5\pi/3) = \cos(-\pi/3) = 1/2\). Le calcul donne \(2 \times \sqrt{3} \times 0,5 = \sqrt{3}\). Note : Si le résultat exact n'apparaît pas clairement dans les options types d'un sujet original, vérifiez toujours les valeurs de l'angle sur le cercle trigonométrique.

Question 2 : Produit scalaire analytique

Avec \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\), le produit scalaire est \(xx' + yy'\). Ici : \(\sin(a) \times (-\cos(a)) + \cos(a) \times \sin(a) = -\sin(a)\cos(a) + \sin(a)\cos(a) = 0\). Les vecteurs sont donc orthogonaux. La réponse est d.

Question 3 : Géométrie repérée

On calcule les vecteurs directeurs : \(\vec{AB}(35-2; 0-8) = \vec{AB}(33; -8)\) et \(\vec{CD}(3-7; 0-(-5)) = \vec{CD}(-4; 5)\). Les pentes sont différentes (non parallèles) et leur produit scalaire est \(33(-4) + (-8)(5) = -132 - 40 = -172 eq 0\) (non perpendiculaires). Les droites sont donc sécantes (réponse c).

Question 4 : Équation de tangente

\(f(x) = 3/x \implies f'(x) = -3/x^2\). En \(x=1\) : \(f(1) = 3\) et \(f'(1) = -3\). L'équation est \(y = -3(x - 1) + 3\), soit \(y = -3x + 6\). La réponse est a.

Question 5 : Équation du second degré

\(x^2 - 6x + 5 = 0\). On calcule \(\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 = 4^2\). Les racines sont \((6-4)/2 = 1\) et \((6+4)/2 = 5\). La réponse est a.