Introduction au Sujet 15 de Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 15 des épreuves de contrôle continu (E3C) de 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue une excellente synthèse du programme de l'époque. Avec un équilibre parfait entre l'analyse, l'algèbre, la géométrie vectorielle et les probabilités, il permet de tester la solidité des bases acquises par les élèves. Ce sujet se compose de quatre exercices de 5 points chacun, abordant des thématiques clés : suites numériques, variables aléatoires, dérivation, probabilités conditionnelles, géométrie repérée (produit scalaire) et optimisation.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Le premier exercice est un QCM de 5 questions qui balaie une large partie du programme. La Question 1 porte sur les suites. Le piège classique ici est de confondre évolution en pourcentage et raison arithmétique. Une baisse de 13% correspond à multiplier par 0,87 ($1 - 13/100$), ce qui définit une suite géométrique. La Question 2 concerne l'espérance mathématique. Pour trouver $x_5$, il faut résoudre l'équation $E(X) = \sum p_i x_i = 0,7$. C'est un test direct sur la compréhension de la loi de probabilité.

La Question 3 traite de la dérivation d'un quotient du type $u/v$. La formule $(u'v - uv')/v^2$ est indispensable. Une erreur de signe au numérateur est le piège le plus fréquent. La Question 4 sur les évolutions réciproques est souvent mal gérée : si un prix augmente de 10%, pour revenir à sa valeur initiale, il doit baisser de moins de 10% (environ 9,09%). Enfin, la Question 5 évalue la maîtrise de Python. Il faut distinguer l'affectation de la variable $u$ dans une boucle `For`. Le code correct doit mettre à jour $u$ à chaque itération sans introduire de variables inutiles comme $n$.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Arbre

Cet exercice de probabilités s'appuie sur une situation concrète de restauration. La première étape cruciale est la construction de l'arbre pondéré. Il faut être vigilant sur la somme des probabilités partant d'un même nœud (qui doit toujours être égale à 1). L'énoncé fournit les probabilités de prendre un macaron ($P(M)=0,4$), une tarte ($P(T)=0,3$) et, par déduction, aucun dessert ($P(N)=0,3$).

Les questions suivantes testent l'application de la formule des probabilités totales pour calculer $P(C)$. Le calcul de $P(T \cap C)$ est un préalable direct. La dernière question demande une probabilité "inversée" (sachant que le client a pris un café...). C'est l'application de la définition de la probabilité conditionnelle $P_C(T) = P(T \cap C) / P(C)$. Conseil méthodologique : gardez les valeurs sous forme de fractions le plus longtemps possible pour simplifier la fraction finale et éviter les erreurs d'arrondi.

Exercice 3 : Géométrie Repérée et Produit Scalaire

L'exercice 3 plonge l'élève dans la géométrie analytique. L'objectif est de démontrer des propriétés remarquables du triangle ABC (orthocentre, centre du cercle circonscrit, centre de gravité). L'utilisation du produit scalaire dans un repère orthonormé ($xx' + yy'$) est l'outil principal. En montrant que $\vec{AB} \cdot \vec{HC} = 0$, on prouve que (HC) est la hauteur issue de C.

La question sur le cercle circonscrit nécessite de vérifier que $KA = KB = KC$. C'est une vérification de distances dans un repère via la formule $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. Enfin, l'alignement des points G, H et K introduit la notion de droite d'Euler. Pour prouver cet alignement, il suffit de démontrer que les vecteurs $\vec{GH}$ et $\vec{GK}$ sont colinéaires. C'est un classique des exercices de géométrie de fin d'année.

Exercice 4 : Optimisation et Dérivation

Le dernier exercice porte sur l'étude d'une fonction de bénéfice $B(x)$, modélisée par un polynôme de degré 3. C'est un exercice de type "problème économique". Après avoir établi l'expression du bénéfice (Recette - Coûts), l'élève doit dériver $B(x)$. La dérivée $B'(x)$ est un trinôme du second degré. L'étude de son signe (via le calcul du discriminant $\Delta$) permet de déterminer les variations de la fonction $B$.

Le maximum du bénéfice correspond au point où la dérivée s'annule en changeant de signe (de positif à négatif). C'est un exercice très structuré où la rigueur dans le calcul du discriminant et des racines est primordiale. N'oubliez pas de restreindre l'étude à l'intervalle $[0 ; 10]$ imposé par l'énoncé. Piège à éviter : confondre le coût total et le coût marginal.

Conclusion

En conclusion, ce sujet 15 est très complet. Il demande une bonne agilité mentale pour passer d'un domaine à l'autre rapidement. Pour réussir, il faut maîtriser les fondamentaux : les formules de dérivation, les probabilités conditionnelles, le produit scalaire et la lecture d'algorithmes Python. C'est un excellent support d'entraînement pour les révisions de fin de Première.