Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice est un QCM complet extrait des épreuves communes de 2020 pour la spécialité mathématiques de Première. Sa force réside dans la diversité des notions testées, couvrant presque l'intégralité du premier semestre : l'analyse graphique de la dérivation, le cercle trigonométrique, l'étude des fonctions polynômes du second degré, la géométrie repérée (vecteurs normaux) et enfin les suites arithmétiques.
Points de vigilance et notions clés
- Dérivation : Il faut savoir lire un coefficient directeur graphiquement (\(f'(a)\)) et utiliser la formule de la tangente : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
- Trigonométrie : Une lecture rapide sur le cercle nécessite de connaître les valeurs remarquables et les signes des sinus/cosinus.
- Second degré : L'identification d'une parabole passe par l'étude du signe de \(a\) (orientation) et des racines (\(f(x)=0\)).
- Géométrie repérée : Dans l'équation \(ax + by + c = 0\), le vecteur \(\vec{n}(a; b)\) est normal à la droite.
- Suites : Identifier une progression arithmétique et appliquer la formule de la somme des termes : \(S = \text{nb de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\).
Correction Détaillée
Question 1 : Le point A a pour coordonnées \((2;2)\). La tangente passe par A et par un autre point lisible, par exemple \((5;4)\). Le coefficient directeur est \(m = \frac{4-2}{5-2} = \frac{2}{3}\). L'équation est \(y = \frac{2}{3}(x-2) + 2\). Réponse a.
Question 2 : Le point A est situé dans le troisième quadrant. Ses coordonnées sont \((-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})\), ce qui correspond à la valeur \(-\frac{2\pi}{3}\) (ou \(\frac{4\pi}{3}\)). Réponse c.
Question 3 : \(f(x) = ax^2 + bx = x(ax + b)\). Comme \(a, b > 0\), la parabole est tournée vers le haut et possède deux racines : \(0\) et \(-\frac{b}{a}\). Comme \(-\frac{b}{a} < 0\), la courbe doit passer par l'origine et couper l'axe des abscisses dans les négatifs. Seul le graphique d permet cela. Réponse d.
Question 4 : L'équation est \(x - 2y - 1 = 0\). Le vecteur normal est \(\vec{n}(1; -2)\). Réponse b.
Question 5 : C'est une suite arithmétique avec \(u_1 = 12\) et \(r = -0,5\). Sur 10 jours, \(u_{10} = 12 + 9 \times (-0,5) = 7,5\). La somme est \(S = 10 \times \frac{12 + 7,5}{2} = 5 \times 19,5 = 97,5\) km. Réponse b.