Analyse de l'exercice : QCM de synthèse de Première

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent outil de révision car il balaie une large partie du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il nécessite une maîtrise des bases en probabilités discrètes, en géométrie analytique, en étude de fonctions du second degré et en algorithmique appliquée aux suites numériques.

Points de vigilance et notions clés

• Probabilités : L'espérance \(E(X)\) se calcule par la formule \(\sum p_i x_i\). Attention aux signes négatifs lors du calcul.
• Géométrie : L'équation cartésienne d'un cercle de centre \(A(x_A; y_A)\) et de rayon \(R\) est \((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2\). Ne confondez pas \(R\) et \(R^2\).
• Second degré : Le signe de \(a\) détermine l'orientation de la parabole, le signe de \(\Delta\) le nombre de racines, et \(c\) correspond à l'ordonnée à l'origine (\(f(0)\)).
• Suites et Algorithmes : Pour une somme de termes, vérifiez l'initialisation de la variable de cumul (S) et le nombre d'itérations de la boucle.

Correction détaillée

Question 1 : \(E(X) = (-5 \times 0,71) + (0 \times 0,03) + (10 \times 0,01) + (20 \times 0,05) + (50 \times 0,2) = -3,55 + 0 + 0,1 + 1 + 10 = 7,55\). La réponse correcte est la c.

Question 2 : Avec \(A(-2; 4)\) et \(R=9\), l'équation est \((x - (-2))^2 + (y - 4)^2 = 9^2\), soit \((x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 81\). La réponse correcte est la a.

Question 3 : La parabole est tournée vers le bas, donc \(a < 0\). Elle coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive, donc \(c > 0\). Elle coupe l'axe des abscisses deux fois, donc \(\Delta > 0\). L'affirmation b est vraie : \(c\) et \(\Delta\) sont tous deux strictement positifs, donc de même signe.

Question 4 : On veut \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{36}\). L'algorithme d initialise \(U\) à \(u_0 = -2\) et \(S\) à \(u_0 = -2\). La boucle tourne 36 fois (de 1 à 36). À chaque passage, on calcule le terme suivant et on l'ajoute. À la fin, on a bien ajouté \(u_1\) jusqu'à \(u_{36}\) à la valeur initiale \(u_0\). Réponse d.

Question 5 : La suite est de la forme \(u_{n+1} = au_n + b\). Comme \(a=2 eq 1\), elle n'est pas arithmétique. Comme \(b=-5 eq 0\) et \(u_0 eq \frac{b}{1-a}\), elle n'est pas géométrique. C'est une suite arithmético-géométrique. Réponse c.