Introduction au Sujet 0 n°1 - Session 2025

Le Sujet 0 n°1 de Première Spécialité Mathématiques pour la session 2025 constitue une ressource pédagogique fondamentale pour les élèves souhaitant anticiper les exigences de l'épreuve. Ce sujet se distingue par son équilibre entre la maîtrise technique des automatismes et la capacité à structurer un raisonnement complexe sur des problèmes de géométrie et d'analyse. Avec une structure composée d'un QCM de 12 questions et de deux exercices approfondis, il couvre une large partie du programme de première.

Partie 1 : Automatismes et QCM - La clé de l'agilité numérique

La première partie, notée sur 6 points, évalue la rapidité et la précision sur des notions de base. Les thématiques abordées sont variées :

• Calcul littéral et fractions : La question 1 et la question 6 testent la manipulation des inverses et des expressions rationnelles. Une erreur classique consiste à sommer les dénominateurs (1/x + 1/y = 1/(x+y)), ce qui est rigoureusement faux.
• Évolution et pourcentages : Les questions 3 et 4 rappellent qu'une hausse de 10% suivie d'une baisse de 10% ne revient pas au prix initial (le coefficient multiplicateur global est de 1,1 * 0,9 = 0,99).
• Probabilités : La somme des probabilités d'un univers doit être égale à 1. Un calcul simple permet de trouver la valeur de x.
• Analyse graphique : Les questions 7 à 11 demandent de faire le lien entre expressions algébriques et représentations de paraboles ou de droites. L'astuce ici est d'identifier les éléments caractéristiques : ordonnée à l'origine, sens de variation et racines.

Exercice 1 : Géométrie repérée et Produit Scalaire

L'exercice 1 plonge l'élève dans un repère orthonormé pour exploiter les propriétés du produit scalaire et de la géométrie analytique.

Notions clés : La détermination des coordonnées des vecteurs est la première étape cruciale. L'utilisation du produit scalaire par la formule analytique (xx' + yy') permet ensuite de passer à une interprétation géométrique (projection orthogonale). Ici, le point H est défini comme le projeté de C sur (OI), ce qui implique que le produit scalaire peut s'exprimer par OH * OI (si les vecteurs sont colinéaires et de même sens).

Pièges à éviter : Lors de l'écriture de l'équation du cercle, n'oubliez pas que l'équation canonique est (x - x_D)² + (y - y_D)² = R². Le passage à l'équation développée demande de la rigueur dans l'application des identités remarquables. Pour vérifier si un point appartient à l'intersection d'une droite et d'un cercle, il doit vérifier les deux équations simultanément.

Exercice 2 : Analyse, Suites et Dérivation

Cet exercice est particulièrement intéressant car il crée un pont entre les suites numériques et l'étude de fonctions.

Analyse de la fonction g(x) : L'étude du signe d'un trinôme du second degré est un classique. L'élève doit calculer le discriminant (delta) et identifier les racines. La suite (a_n) définie par les coefficients directeurs de sécantes s'avère être une suite arithmétique de raison 2, ce qui montre le lien entre la pente d'une parabole et une progression linéaire.

Étude de la fonction f(x) : La fonction f(x) = x - 5 + 4/x demande une maîtrise de la dérivation. La dérivée f'(x) = 1 - 4/x² doit être mise au même dénominateur pour obtenir (x² - 4) / x², puis factorisée sous la forme (x-2)(x+2) / x². Cette factorisation est essentielle pour établir le tableau de signes et, par extension, les variations de f sur l'intervalle [0,5 ; 8].

Conseils méthodologiques pour réussir

Pour performer sur ce type de sujet en 2025, voici quelques conseils :

1. Soignez la rédaction : En géométrie, explicitez toujours vos formules avant d'injecter les coordonnées.
2. Maîtrisez votre calculatrice : Si le mode examen est requis, sachez l'activer rapidement, mais ne dépendez pas d'elle pour les automatismes de base.
3. Vérifiez la cohérence : En analyse, assurez-vous que les signes de votre dérivée correspondent bien aux variations que vous observez sur votre schéma.

Conclusion

Ce sujet 0 n°1 est une excellente base de révision. Il mobilise des compétences de calcul pur (QCM) tout en exigeant une hauteur de vue sur des concepts plus abstraits comme le produit scalaire et les variations de fonctions rationnelles. Un entraînement régulier sur ces types d'exercices garantit une base solide pour la terminale.