Analyse de l'énoncé

Cet exercice de probabilités s'inscrit parfaitement dans le programme de Première Spécialité. Il traite d'un cas concret de gestion de stocks et de contrôle qualité dans un salon de thé. L'objectif principal est de modéliser une situation aléatoire par un arbre pondéré et de calculer des probabilités d'intersections et des probabilités conditionnelles, notamment en utilisant la formule des probabilités totales.

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Veillez à ce que la somme des probabilités issues d'un même nœud soit toujours égale à 1.
• Intersection vs Conditionnelle : Ne confondez pas $P(A \cap T)$ (la boîte vient de A ET a des traces) avec $P_A(T)$ (SACHANT que la boîte vient de A, quelle est la probabilité qu'elle ait des traces).
• Loi des probabilités totales : Utilisée ici pour justifier $P(\overline{T})$. Elle consiste à sommer les probabilités des différents chemins menant à l'événement souhaité.
• Inversion de conditionnement : La dernière question demande de calculer $P_T(B)$, ce qui nécessite l'utilisation de la définition de la probabilité conditionnelle : $P_T(B) = \frac{P(B \cap T)}{P(T)}$.

Guide de résolution détaillé

1. Arbre pondéré : On part d'un nœud racine vers deux branches $A$ (0,8) et $B$ (0,2). De chaque branche partent deux sous-branches $T$ et $\overline{T}$. Sous $A$, on a $T$ (0,1) et $\overline{T}$ (0,9). Sous $B$, on a $T$ (0,2) et $\overline{T}$ (0,8).
2. Probabilité $P(A \cap T)$ : On suit le chemin $A$ puis $T$ : $P(A \cap T) = P(A) \times P_A(T) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$.
3. Événement $B \cap \overline{T}$ : Il représente l'événement « la boîte provient du fournisseur Bon thé et ne présente aucune trace de pesticides ». Sa probabilité est $P(B \cap \overline{T}) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$.
4. Probabilité de $\overline{T}$ : D'après la loi des probabilités totales, $P(\overline{T}) = P(A \cap \overline{T}) + P(B \cap \overline{T})$.
$P(\overline{T}) = (0,8 \times 0,9) + (0,2 \times 0,8) = 0,72 + 0,16 = 0,88$. La valeur est bien vérifiée.
5. Probabilité conditionnelle $P_T(B)$ : On sait que la boîte a des traces. $P(T) = 1 - P(\overline{T}) = 1 - 0,88 = 0,12$. On calcule alors $P_T(B) = \frac{P(B \cap T)}{P(T)} = \frac{0,2 \times 0,2}{0,12} = \frac{0,04}{0,12} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.