Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte concret de sondage lycéen. L'objectif est de traduire un énoncé textuel en données probabilistes, de construire un arbre pondéré et d'appliquer les formules fondamentales du programme : la probabilité d'une intersection, la formule des probabilités totales et la définition de la probabilité conditionnelle (Bayes). Enfin, une question sur l'indépendance vient clore l'exercice pour vérifier la compréhension structurelle des événements.

Points de vigilance et notions requises

• Traduction des pourcentages : Ne pas confondre une probabilité d'intersection (et) avec une probabilité conditionnelle (sachant que). L'énoncé précise 'Parmi ceux qui...', ce qui indique clairement une condition.
• Somme des branches : Dans un arbre, la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer $P(C)$, il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'événement $C$.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si et seulement si $P(L \cap C) = P(L) \times P(C)$ ou $P_C(L) = P(L)$.

Correction détaillée

1. Construction de l'arbre :
On a $P(L) = 0,55$, donc $P(\bar{L}) = 1 - 0,55 = 0,45$.
Pour les branches secondaires : $P_L(C) = 0,95$ (donc $P_L(\bar{C}) = 0,05$) et $P_{\bar{L}}(C) = 0,10$ (donc $P_{\bar{L}}(\bar{C}) = 0,90$).

2. Calcul de $P(L \cap C)$ :
Selon la formule des probabilités composées : $P(L \cap C) = P(L) \times P_L(C) = 0,55 \times 0,95 = 0,5225$.

3. Montrer que $P(C) = 0,5675$ :
D'après la formule des probabilités totales, $L$ et $\bar{L}$ formant une partition de l'univers :
$P(C) = P(L \cap C) + P(\bar{L} \cap C) = 0,5225 + (P(\bar{L}) \times P_{\bar{L}}(C)) = 0,5225 + (0,45 \times 0,10) = 0,5225 + 0,045 = 0,5675$. Le résultat est bien vérifié.

4. Calcul de $P_C(L)$ :
On cherche la probabilité que l'élève soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu'il souhaite une répartition étalée :
$P_C(L) = \frac{P(L \cap C)}{P(C)} = \frac{0,5225}{0,5675} \approx 0,9207$ (arrondi à $10^{-4}$).

5. Test d'indépendance :
On compare $P_C(L)$ et $P(L)$. On a $P_C(L) \approx 0,9207$ alors que $P(L) = 0,55$.
Puisque $P_C(L) \neq P(L)$, les événements $L$ et $C$ ne sont pas indépendants. Cela signifie que le souhait d'étaler les cours est lié à l'opinion sur la pause méridienne.