Analyse de l'énoncé
Cet exercice sous forme de QCM balaie plusieurs chapitres fondamentaux du programme de Première Spécialité. Il nécessite une agilité mentale pour passer d'une notion à l'autre : calcul de probabilités, interprétation géométrique du nombre dérivé et lecture d'un algorithme Python.
Points de vigilance
- Variables Aléatoires : Bien identifier l'univers des possibles (Ω). Pour deux lancers de pièces, il y a 4 issues équiprobables (PP, PF, FP, FF).
- Probabilités : Ne pas confondre la formule de l'union \(P(A \cup B)\) avec celle des probabilités conditionnelles.
- Dérivation : Se rappeler que \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\).
- Python : Effectuer un suivi manuel des variables (trace) rigoureux pour la boucle 'while'.
Correction détaillée
Question 1 : L'univers est \(\{FF; FP; PF; PP\}\). Les probabilités sont : \(P(FF) = 1/4\), \(P(une seul Face) = 2/4 = 1/2\), \(P(PP) = 1/4\). L'espérance \(E(G) = (-5 \times 0,25) + (2 \times 0,5) + (4 \times 0,25) = -1,25 + 1 + 1 = 0,75\). Réponse a.
Question 2 : On utilise \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Donc \(P(A \cap B) = 3/7 + 3/20 - 4/7 = 3/20 - 1/7 = (21-20)/140 = 1/140\). Réponse c.
Question 3 : Selon la loi des probabilités totales : \(P(C) = P(A)P_A(C) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(C)\). On a \(0,48 = 0,2 \times 0,6 + 0,8 \times x\), soit \(0,48 = 0,12 + 0,8x\), d'où \(0,36 = 0,8x\), donc \(x = 0,36 / 0,8 = 0,45\). Réponse c.
Question 4 : \(f'(4)\) est la pente de la droite (GH). Avec \(G(4; 3)\) et \(H(5; 0)\), le coefficient directeur est \(m = (0 - 3) / (5 - 4) = -3 / 1 = -3\). Réponse d.
Question 5 : Pour \(evolu(400)\), suivons \(i\) :
1. Initialement \(i=200, n=0\).
2. \(i = 1,2 \times 200 + 10 = 250, n=1\).
3. \(i = 1,2 \times 250 + 10 = 310, n=2\).
4. \(i = 1,2 \times 310 + 10 = 382, n=3\).
5. \(i = 1,2 \times 382 + 10 = 468,4, n=4\).
Comme \(468,4 > 400\), la boucle s'arrête et renvoie \(n=4\). Réponse d.