Analyse de l'exercice

Cet exercice sous forme de QCM est issu du sujet 10 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il est particulièrement intéressant car il balaie un spectre très large du programme officiel : les probabilités, les fonctions du second degré, les suites numériques (arithmétiques), l'algorithmique et la géométrie analytique (produit scalaire). L'objectif pour l'élève est d'être capable de mobiliser rapidement une propriété fondamentale pour chaque chapitre afin de répondre sans justification.

Points de vigilance et notions de cours

• Probabilités : Il faut connaître la relation $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$. C'est une application directe de la formule des probabilités totales.
• Second degré : Pour une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, l'extremum (minimum ou maximum) est atteint en $x = -\frac{b}{2a}$.
• Suites arithmétiques : La relation entre deux termes quelconques est $u_n = u_p + (n-p)r$.
• Algorithmique : Il faut savoir simuler une boucle "Pour" étape par étape. Ici, il s'agit d'une suite définie par récurrence.
• Produit scalaire : Dans un repère orthonormé, on utilise la formule analytique $xx' + yy'$.

Correction détaillée

Question 1 : On sait que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $0,4 = P(A \cap B) + 0,3$. Donc $P(A \cap B) = 0,1$. La réponse correcte est a.

Question 2 : La fonction $f(x) = x^2 - 3x + 4$ est une parabole tournée vers le haut ($a = 1 > 0$). Son minimum est atteint en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \times 1} = \frac{3}{2}$. La réponse correcte est c.

Question 3 : Pour une suite arithmétique : $u_9 = u_5 + (9 - 5)r$. On remplace : $8 = 26 + 4r \Rightarrow 4r = 8 - 26 = -18$. Ainsi $r = -\frac{18}{4} = -4,5$. La réponse correcte est d.

Question 4 : Suivons les itérations pour $N = 4$ :
- Initialisation : $A = 10$
- $k=1 : A = 2 \times 10 - 4 = 16$
- $k=2 : A = 2 \times 16 - 4 = 28$
- $k=3 : A = 2 \times 28 - 4 = 52$
- $k=4 : A = 2 \times 52 - 4 = 100$. La réponse correcte est b.

Question 5 : Plaçons-nous dans le repère $(D; \vec{i}, \vec{j})$ tel que $D(0,0)$, $C(3,0)$, $A(0,2)$ et $B(3,2)$. On a alors $\vec{AC}(3-0, 0-2) = \vec{AC}(3, -2)$ et $\vec{DB}(3-0, 2-0) = \vec{DB}(3, 2)$.
$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 3 \times 3 + (-2) \times 2 = 9 - 4 = 5$. La réponse correcte est b.