Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité traite de l'évolution d'une population à travers le prisme des suites numériques et de la programmation Python. La structure est classique : une première partie théorique sur les suites géométriques, suivie d'une application concrète (modélisation démographique), pour finir sur une suite arithmético-géométrique gérée par un algorithme.

Points de vigilance et notions requises

• Coefficients multiplicateurs : Une baisse de \(0,1\%\) correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 - \frac{0,1}{100} = 0,999\).
• Somme des termes : La formule de la somme d'une suite géométrique \(\sum = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) nécessite de bien compter le nombre de termes (ici, de \(u_0\) à \(u_{19}\), il y a \(20\) termes).
• Lecture d'algorithme : En Python, la boucle range(1, N+1) s'exécute exactement \(N\) fois.

Correction détaillée

Partie A

1. La suite \((u_n)\) est géométrique de premier terme \(u_0 = 82695\) et de raison \(q = 0,999\).
On utilise la formule du terme général : \(u_n = u_0 \times q^n\).
\(u_{19} = 82695 \times 0,999^{19} \approx 81139\).

2. Pour la somme \(S = u_0 + \dots + u_{19}\), il y a \(20\) termes.
\(S = 82695 \times \frac{1 - 0,999^{20}}{1 - 0,999} = 82695 \times \frac{1 - 0,999^{20}}{0,001}\).
\(S \approx 1638209,7\) (valeur approchée).

Partie B

Entre le 1er janvier 2016 et le 1er janvier 2035, il s'écoule \(2035 - 2016 = 19\) années.
La population initiale est de \(82\,695\,000\). En notant \(P_n\) la population l'année \(2016+n\), on a une suite géométrique de raison \(0,999\).
L'effectif en 2035 correspond à \(P_{19} = 82\,695\,000 \times 0,999^{19}\).
On remarque que \(P_{19} = 1000 \times u_{19}\).
L'estimation est donc d'environ \(81\,139\,000\) habitants.

Partie C

1. Pour population(2), on simule deux itérations :
Initialement, \(p = 82\,695\,000\).
Itération 1 : \(p = 0,999 \times 82\,695\,000 + 58\,700 = 82\,612\,305 + 58\,700 = 82\,671\,005\).
Itération 2 : \(p = 0,999 \times 82\,671\,005 + 58\,700 = 82\,588\,333,995 + 58\,700 = 82\,647\,033,995\).
La fonction retourne environ \(82\,647\,034\).

2. La valeur retournée pour \(N=19\) représente l'estimation de la population au 1er janvier 2035 en tenant compte à la fois de la baisse naturelle de \(0,1\%\) et du solde migratoire annuel constant de \(58\,700\) personnes.