Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'application des fonctions exponentielles dans un contexte économique concret : la dépréciation de la valeur d'un véhicule électrique. La fonction étudiée est de la forme f(x) = C e^{ax}, un modèle classique de décroissance exponentielle. L'enjeu est de mobiliser les compétences de calcul d'image, de dérivation d'une fonction composée et de résolution d'inéquations impliquant le logarithme népérien (ou par balayage à la calculatrice).

Points de vigilance et notions requises

• Propriétés de l'exponentielle : Il faut savoir que exp(0) = 1 et que la fonction exponentielle est toujours strictement positive.
• Dérivation : La règle de dérivation de e^{u(x)} est essentielle. Ici, pour f(x) = 35e^{-0,22x}, on applique la formule (e^{ax})' = a e^{ax}.
• Conversions temporelles : Attention à la question 2 (5 ans et 6 mois = 5,5 ans) et à la question 5 (conversion du résultat décimal en mois).

Correction détaillée

1. Valeur initiale : On calcule f(0) = 35 × e^0 = 35 × 1 = 35. La valeur de mise sur le marché est donc de 35 000 euros.

2. Valeur après 5 ans et 6 mois : 6 mois correspondent à 0,5 an, on calcule donc f(5,5).
f(5,5) = 35e^{-0,22 imes 5,5} = 35e^{-1,21} \approx 10,435. Le prix est d'environ 10 435 euros.

3. Calcul de la dérivée : La fonction est de la forme k × e^{ux} avec u = -0,22x.
La dérivée est f'(x) = 35 × (-0,22) × e^{-0,22x} = -7,7e^{-0,22x}. La relation est démontrée.

4. Tableau de variation : Pour tout x, e^{-0,22x} > 0. Comme -7,7 < 0, alors f'(x) < 0 sur [0 ; 10]. La fonction f est donc strictement décroissante sur son intervalle de définition.

5. Seuil de revente : On cherche x tel que f(x) < 10.
35e^{-0,22x} < 10 \implies e^{-0,22x} < 10/35 \implies -0,22x < \ln(10/35) \implies x > \ln(2/7) / (-0,22) \approx 5,694.
5 ans + 0,694 × 12 mois ≈ 5 ans et 8,3 mois. Le client pourra revendre sa voiture après 5 ans et 9 mois (pour passer sous la barre des 10 000 €).