Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques de Première Spécialité. Il est divisé en deux parties complémentaires : l'étude d'une situation de dépendance via les probabilités conditionnelles (arbre pondéré) et l'étude d'une répétition d'expériences via la loi binomiale.

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Probabilités totales : Pour calculer $p(S)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à $S$, soit $p(M \cap S) + p(\overline{M} \cap S)$.
• Loi Binomiale : La justification est cruciale. Vous devez mentionner la répétition d'une épreuve de Bernoulli (deux issues : succès/échec) de manière identique et indépendante.

Correction détaillée

1. Arbre de probabilités :
On a $p(M) = 1/500 = 0,002$, donc $p(\overline{M}) = 0,998$.
Pour les branches secondaires : $p_M(S) = 0,98$ (donc $p_M(\overline{S}) = 0,02$) et $p_{\overline{M}}(\overline{S}) = 0,98$ (donc $p_{\overline{M}}(S) = 0,02$).

2. Calcul de $p(S)$ :
D'après la formule des probabilités totales :
$p(S) = p(M) \times p_M(S) + p(\overline{M}) \times p_{\overline{M}}(S)$
$p(S) = 0,002 \times 0,98 + 0,998 \times 0,02$
$p(S) = 0,00196 + 0,01996 = 0,02192$. Le résultat est bien celui attendu.

3. Loi de X :
a) Le passage d'un voyageur est une épreuve de Bernoulli avec pour succès 'le portique sonne' ($p = 0,02192$). On répète cette épreuve $n=2$ fois de façon indépendante. $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(2 ; 0,02192)$.
b) Calcul des probabilités :
- $p(X=0) = (1-p)^2 = (0,97808)^2 \approx 0,9566$
- $p(X=1) = 2 \times p \times (1-p) \approx 0,0429$
- $p(X=2) = p^2 \approx 0,00048$
c) Espérance : $E(X) = n \times p = 2 \times 0,02192 = 0,04384$. Sur un grand nombre de paires de voyageurs, le portique sonnera en moyenne 0,044 fois.