Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur le chapitre des probabilités. Il se divise en deux parties complémentaires : l'étude de probabilités conditionnelles via un arbre pondéré, puis l'étude d'une variable aléatoire $X$ liée aux coûts des bouquets (espérance mathématique). L'enjeu principal ici est de traduire correctement les données textuelles en notations mathématiques rigoureuses pour éviter les confusions entre probabilités d'intersections et probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions de cours

• Probabilité d'une intersection : La donnée « 36 % des bouquets sont des roses blanches » correspond directement à $P(R \cap B) = 0,36$.
• Probabilité conditionnelle : « 20 % des bouquets de tulipes sont orange » signifie que la probabilité d'avoir une tulipe orange sachant que c'est une tulipe est de 0,2. Soit $P_{\bar{R}}(\bar{B}) = 0,2$.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer $P(B)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à l'événement $B$ dans l'arbre.
• Loi de probabilité et Espérance : Pour la variable aléatoire $X$, il faut associer chaque bouquet à son prix et calculer la moyenne pondérée par les probabilités.

Guide de résolution détaillé

1. Étude des probabilités

a. Valeur de $P(R \cap B)$ : D'après l'énoncé, 36 % des bouquets sont des roses blanches. On a donc $P(R \cap B) = 0,36$.

b. Arbre de probabilité :
- Branche $R$ : $P(R) = 0,72$.
- Branche $\bar{R}$ (tulipes) : $P(\bar{R}) = 1 - 0,72 = 0,28$.
- Sous-branche $B$ sachant $\bar{R}$ : $P_{\bar{R}}(B) = 1 - 0,2 = 0,8$.
- Pour la branche $B$ sachant $R$, on utilise $P(R \cap B) = P(R) \times P_R(B)$. Donc $0,36 = 0,72 \times P_R(B)$, ce qui donne $P_R(B) = 0,5$.

c. Calcul de $P(B)$ : Par la formule des probabilités totales :
$P(B) = P(R \cap B) + P(\bar{R} \cap B) = 0,36 + (0,28 \times 0,8) = 0,36 + 0,224 = 0,584$.

2. Variable aléatoire X

a. Loi de probabilité :
- Tulipe orange ($X=10,50$) : $P(\bar{R} \cap \bar{B}) = 0,28 \times 0,2 = 0,056$.
- Tulipe blanche ($X=11,60$) : $P(\bar{R} \cap B) = 0,224$.
- Rose orange ($X=23,50$) : $P(R \cap \bar{B}) = 0,72 \times 0,5 = 0,36$.
- Rose blanche ($X=25,50$) : $P(R \cap B) = 0,36$.

b. Espérance : $E(X) = (10,5 \times 0,056) + (11,6 \times 0,224) + (23,5 \times 0,36) + (25,5 \times 0,36) = 0,588 + 2,5984 + 8,46 + 9,18 = 20,8264$.
L'espérance est d'environ 20,83 € par bouquet.