Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques, issu des sujets communs de 2020, porte sur le chapitre des probabilités. La situation modélise le comportement d'achat de clients chez un parfumeur. L'énoncé nous fournit des fréquences qui se traduisent immédiatement en probabilités. La difficulté principale réside dans la transition entre les probabilités conditionnelles (représentées par un arbre) et la création d'une variable aléatoire \(X\) représentant un gain financier (chiffre d'affaires par client).
Points de vigilance et notions de cours
- L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
- La formule des probabilités totales : Pour calculer \(P(B)\), il faut sommer les probabilités des chemins menant à \(B\) : \(P(B) = P(F \cap B) + P(\bar{F} \cap B)\).
- Loi de probabilité : Il s'agit de lister toutes les valeurs possibles de \(X\) et d'y associer leurs probabilités respectives.
- Espérance mathématique : Elle représente la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir sur un grand nombre d'expériences. Formule : \(E(X) = \sum p_i x_i\).
Correction détaillée
1. Construction de l'arbre : On part d'un nœud racine vers \(F\) (\(0,58\)) et \(\bar{F}\) (\(0,42\)). De \(F\), on part vers \(B\) (\(0,24\)) et \(\bar{B}\) (\(0,76\)). De \(\bar{F}\), on part vers \(B\) (\(0,13\)) et \(\bar{B}\) (\(0,87\)).
2. Calcul de \(P(F \cap B)\) : En suivant la branche, \(P(F \cap B) = P(F) \times P_F(B) = 0,58 \times 0,24 = 0,1392\).
3. Calcul de \(P(B)\) : D'après la formule des probabilités totales : \(P(B) = P(F \cap B) + P(\bar{F} \cap B) = 0,1392 + (0,42 \times 0,13) = 0,1392 + 0,0546 = 0,1938\).
4. Variable aléatoire \(X\) : Les montants possibles sont :
- \(F \cap B\) : \(40 + 25 = 65\) € (Probabilité : \(0,1392\))
- \(F \cap \bar{B}\) : \(40\) € (Probabilité : \(0,58 - 0,1392 = 0,4408\))
- \(\bar{F} \cap B\) : \(60 + 25 = 85\) € (Probabilité : \(0,0546\))
- \(\bar{F} \cap \bar{B}\) : \(60\) € (Probabilité : \(0,42 - 0,0546 = 0,3654\))
Espérance : \(E(X) = 65 \times 0,1392 + 40 \times 0,4408 + 85 \times 0,0546 + 60 \times 0,3654 = 53,245\). En moyenne, un client dépense environ \(53,25\) € pour l'achat de ces parfums.