Analyse de l'énoncé : Optimisation d'un coût de production
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction de coût moyen de production. L'objectif est double : valider les compétences techniques de dérivation et appliquer ces outils à une situation concrète de gestion d'entreprise. On étudie ici une fonction rationnelle sur l'intervalle [1 ; 5].
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions du programme de Première Spécialité sont indispensables :
- La dérivation : Savoir utiliser la formule du quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\) ou transformer l'expression pour dériver terme à terme.
- L'étude du second degré : Le calcul du discriminant \(\Delta\) est nécessaire pour déterminer le signe d'un trinôme.
- Le lien entre signe de la dérivée et variations : Dresser un tableau de variations complet avec les bornes de l'intervalle.
- L'interprétation économique : Faire le lien entre l'extremum de la fonction et le minimum de production.
Guide de résolution détaillé
1. Calcul de l'image
On remplace \(x\) par 2 dans \(f(x)\). On obtient \(f(2) = (0,5 \times 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 + 16) / 2 = (4 - 12 + 2 + 16) / 2 = 10 / 2 = 5\). Le coût moyen pour 2 000 pièces est de 5 000 euros.
2. Dérivation de la fonction
En posant \(u(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + x + 16\) et \(v(x) = x\), on applique la règle du quotient. Le calcul nous mène à \(f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 16) / x^2\). Il est crucial de ne pas faire d'erreur de signe lors de la soustraction du terme \(uv'\).
3. Factorisation du numérateur
Pour vérifier l'égalité \((x-4)(x^2+x+4)\), la méthode la plus simple est de développer l'expression de droite. On retrouve bien \(x^3 - 3x^2 - 16\). Cette étape est fondamentale pour l'étude du signe qui suit.
4. Tableau de variations
Sur \([1 ; 5]\), \(x^2\) est toujours strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) dépend donc uniquement de ses facteurs au numérateur :
- \((x-4)\) s'annule en 4, est négatif avant et positif après.
- Le trinôme \(x^2+x+4\) a un discriminant \(\Delta = 1^2 - 4(1)(4) = -15\). Comme \(\Delta < 0\) et le coefficient \(a=1 > 0\), ce trinôme est toujours positif.
On en déduit que \(f'(x)\) est négative sur \([1 ; 4]\) et positive sur \([4 ; 5]\). La fonction est donc décroissante puis croissante.
5. Conclusion économique
Le minimum est atteint pour \(x=4\). L'entreprise doit donc produire 4 000 pièces pour minimiser son coût moyen. Le coût minimal est \(f(4) = (0,5 \times 64 - 3 \times 16 + 4 + 16) / 4 = 4\). Soit 4 000 euros par millier de pièces.