Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu des épreuves de 2020 pour la spécialité mathématiques en Première, combine deux piliers du programme : l'étude d'un trinôme du second degré et l'application de la dérivation à un problème de géométrie. L'objectif est de trouver l'abscisse \(x\) qui maximise l'aire d'un rectangle dont un sommet est mobile sur une hyperbole. Ce type d'exercice est classique aux épreuves de baccalauréat car il vérifie la capacité de l'élève à modéliser un problème physique par une fonction et à utiliser les outils de l'analyse pour conclure.

Points de vigilance et prérequis

• Le discriminant : Savoir calculer \(\Delta\) et identifier les racines d'un polynôme du second degré pour en déduire son signe.
• La règle du quotient : Appliquer correctement la formule \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) pour dériver la fonction aire.
• Interprétation géométrique : Comprendre que la largeur du rectangle est donnée par \(8 - x\) (distance entre les points A et B) et sa hauteur par l'ordonnée du point E.

Correction détaillée du problème

Partie A : Étude du trinôme

On considère \(P(x) = -10x^2 - 40x + 120\). Pour déterminer son signe, calculons le discriminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(-10)(120) = 1600 + 4800 = 6400\).
Comme \(\Delta > 0\), le trinôme admet deux racines réelles :
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{40 - 80}{-20} = 2\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{40 + 80}{-20} = -6\).
Le coefficient \(a = -10\) est négatif, donc \(P(x)\) est positif entre les racines. Sur \(\mathbb{R}\), \(P(x) > 0\) pour \(x \in ]-6 ; 2[\).

Partie B : Optimisation de l'aire

1. Aire pour \(x=0\) :
Le rectangle a pour largeur \(8 - 0 = 8\). L'ordonnée de E est \(y = \frac{10(0)+4}{0+2} = 2\). L'aire est donc \(8 \times 2 = 16\).

2. Aire pour \(x=4\) :
La largeur est \(8 - 4 = 4\). L'ordonnée de E est \(y = \frac{10(4)+4}{4+2} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}\).
L'aire est \(4 \times \frac{22}{3} = \frac{88}{3} \approx 29,33\).

3. Recherche de l'aire maximale

La fonction aire est donnée par \(f(x) = \frac{-10x^2 + 76x + 32}{x + 2}\). Dérivons \(f\) sur \([0 ; 8]\) :
En posant \(u(x) = -10x^2 + 76x + 32\) et \(v(x) = x + 2\), on obtient :
\(f'(x) = \frac{(-20x + 76)(x + 2) - (-10x^2 + 76x + 32)(1)}{(x+2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-20x^2 - 40x + 76x + 152 + 10x^2 - 76x - 32}{(x+2)^2} = \frac{-10x^2 - 40x + 120}{(x+2)^2}\).
On reconnaît au numérateur le polynôme \(P(x)\) de la Partie A. Le dénominateur \((x+2)^2\) étant toujours positif, \(f'(x)\) est du signe de \(P(x)\).
Sur \([0 ; 8]\), \(f'(x)\) est positive sur \([0 ; 2]\) et négative sur \([2 ; 8]\). La fonction \(f\) est donc croissante puis décroissante. Le maximum est atteint pour \(x = 2\).

Conclusion

L'aire du rectangle ABDE est maximale lorsque l'abscisse \(x\) du point A est égale à 2.