Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité traite des probabilités dans un contexte concret de gestion de stock. Il demande à l'élève de savoir extraire des données statistiques à partir de deux sources différentes : un support graphique (diagramme circulaire ou camembert) et un tableau de données croisées. L'enjeu est de transformer ces données en probabilités classiques et conditionnelles pour ensuite appliquer les théorèmes fondamentaux du cours.

Points de vigilance et notions de cours

• Interprétation du diagramme : La probabilité d'un évènement représenté par un secteur circulaire est proportionnelle à son angle. Il faut diviser l'angle du secteur par 360 pour obtenir la probabilité correspondante.
• Lecture du tableau : Il est crucial de comprendre que les pourcentages donnés dans le tableau sont des probabilités conditionnelles. Par exemple, '80% des fromages au lait de vache sont affinés' se traduit par $P_V(A) = 0,8$.
• Partition de l'univers : Les évènements $V$, $C$ et $B$ forment une partition de l'univers car ils sont disjoints et leur réunion constitue l'ensemble des fromages. C'est la condition nécessaire pour appliquer la formule des probabilités totales.
• Formule de Bayes : La dernière question demande de calculer $P_A(V)$, ce qui nécessite de diviser la probabilité de l'intersection par la probabilité du sachant.

Correction détaillée

1. Détermination des probabilités :

D'après le tableau, la ligne 'Lait de chèvre' et la colonne 'affiné' nous donnent directement la probabilité conditionnelle : $P_C(A) = 40\% = 0,6$.
Pour $P(B)$, on observe le diagramme. Le secteur pour le lait de brebis va de 0 à 54 degrés. La probabilité est donc : $P(B) = \frac{54}{360} = 0,15$.

2. Démonstration de $P(A) = 0,675$ :

Calculons d'abord les probabilités manquantes du diagramme :
- $P(C) = \frac{144 - 54}{360} = \frac{90}{360} = 0,25$.
- $P(V) = \frac{360 - 144}{360} = \frac{216}{360} = 0,6$.
D'après la formule des probabilités totales :
$P(A) = P(V \cap A) + P(C \cap A) + P(B \cap A)$
$P(A) = P(V) \times P_V(A) + P(C) \times P_C(A) + P(B) \times P_B(A)$
$P(A) = (0,6 \times 0,8) + (0,25 \times 0,6) + (0,15 \times 0,3)$
$P(A) = 0,48 + 0,15 + 0,045 = 0,675$. La relation est démontrée.

3. Probabilité que le fromage soit au lait de vache sachant qu'il est affiné :

On cherche $P_A(V)$. Par définition : $P_A(V) = \frac{P(A \cap V)}{P(A)}$.
Nous avons $P(A \cap V) = P(V) \times P_V(A) = 0,6 \times 0,8 = 0,48$.
Donc $P_A(V) = \frac{0,48}{0,675} \approx 0,711$.