Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en classe de Première Spécialité. Il aborde la thématique des probabilités conditionnelles à travers une situation concrète : le lien entre la pratique sportive et l'état de santé d'une population. L'objectif principal est de savoir modéliser une expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré, de calculer des probabilités d'intersections et d'utiliser la formule des probabilités totales pour valider un résultat. Enfin, l'exercice demande une prise de recul critique sur des statistiques journalistiques, ce qui mobilise les capacités d'argumentation mathématique.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :

• La construction de l'arbre : Se rappeler que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• La lecture de l'arbre : Ne pas confondre la probabilité d'une intersection $P(A \cap B)$ avec une probabilité conditionnelle $P_A(B)$.
• Formule des probabilités totales : Elle permet de calculer la probabilité d'un événement qui dépend de plusieurs issues disjointes (ici, être sportif peut arriver en étant malade ou non).
• Probabilité « inverse » : Savoir utiliser la définition $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ pour calculer une probabilité conditionnelle à partir d'un événement situé au second niveau de l'arbre.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Complétion de l'arbre pondéré :
Sur la branche $M$, la probabilité de $S$ est $0,36$, donc la probabilité de $\overline{S}$ est $1 - 0,36 = 0,64$.
Sur la branche $\overline{M}$, la probabilité de $S$ est $0,54$, donc celle de $\overline{S}$ est $1 - 0,54 = 0,46$. L'arbre permet de visualiser l'ensemble des chemins possibles.

2. Calculs de probabilités :
a) La probabilité que la personne soit malade et pratique un sport est donnée par l'intersection $P(M \cap S) = P(M) \times P_M(S) = 0,12 \times 0,36 = 0,0432$.
b) Pour montrer que $P(S) = 0,5184$, on applique la formule des probabilités totales : $P(S) = P(M \cap S) + P(\overline{M} \cap S)$. On a déjà $P(M \cap S) = 0,0432$. On calcule $P(\overline{M} \cap S) = 0,88 \times 0,54 = 0,4752$. Ainsi, $P(S) = 0,0432 + 0,4752 = 0,5184$.

3. Probabilité conditionnelle inverse :
On cherche $P_{\overline{S}}(M)$. Par définition : $P_{\overline{S}}(M) = \frac{P(M \cap \overline{S})}{P(\overline{S})}$.
Calculons $P(\overline{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0,5184 = 0,4816$.
Le numérateur est $P(M \cap \overline{S}) = 0,12 \times 0,64 = 0,0768$.
D'où $P_{\overline{S}}(M) = \frac{0,0768}{0,4816} \approx 0,159$.

4. Analyse de l'annonce du journaliste :
Le risque de tomber malade en faisant du sport est $P_S(M) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{0,0432}{0,5184} \approx 0,083$.
Le risque de tomber malade sans sport est $P_{\overline{S}}(M) \approx 0,159$.
On compare : $\frac{0,159}{0,083} \approx 1,91$. Le risque sans sport est presque le double de celui avec sport. L'affirmation du journaliste est donc mathématiquement pertinente et cohérente avec les données.