Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une suite explicite de la forme \(u_n = f(n)\). Il combine des calculs de termes, une étude de variations par le calcul algébrique de la différence \(u_{n+1} - u_n\), et une initiation à l'algorithmie avec Python. La particularité de cette suite est qu'elle tend vers 1 par valeurs supérieures, ce qui justifie l'utilisation d'un algorithme de seuil pour trouver le rang \(n\) à partir duquel les termes sont proches de la limite.

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul fractionnaire : La manipulation des fractions est centrale, notamment pour la mise au même dénominateur lors de l'étude des variations.
• Sens de variation : Rappelez-vous que pour une suite, on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\). Si la différence est négative pour tout \(n\), la suite est décroissante.
• Logique algorithmique : Dans une boucle while (tant que), la condition doit être celle qui permet de continuer la recherche. Si l'on cherche le premier \(n\) tel que \(u_n \leqslant a\), la boucle doit tourner tant que \(u_n > a\).

Correction détaillée

1. Calcul des termes :

• \(u_0 = \dfrac{0+2}{0+1} = 2\)
• \(u_1 = \dfrac{1+2}{1+1} = \dfrac{3}{2} = 1,5\)
• \(u_2 = \dfrac{2+2}{2+1} = \dfrac{4}{3} \approx 1,33\)
• \(u_{99} = \dfrac{99+2}{99+1} = \dfrac{101}{100} = 1,01\)

2. Étude algébrique :

a) \(u_n - 1 = \dfrac{n+2}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+1} = \dfrac{n+2-(n+1)}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}\).

b) Pour \(u_{n+1} - u_n\) :
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+3}{n+2} - \dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{(n+3)(n+1) - (n+2)^2}{(n+2)(n+1)}\)
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{(n^2+4n+3) - (n^2+4n+4)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\).

c) Comme \(n\) est un entier naturel, \(n+1 > 0\) et \(n+2 > 0\). Le dénominateur est positif, le numérateur est \(-1\), donc la différence est strictement négative. La suite \((u_n)\) est donc strictement décroissante.

Algorithmique en Python

Pour compléter le programme, nous devons traduire la condition d'arrêt. L'énoncé demande de s'arrêter quand \(u_n \leqslant a\). La boucle continue donc tant que \(u_n > a\).

def seuil(a):
    n = 0
    while (n+2) / (n+1) > a:
        n = n + 1
    return n

Notez que l'incrémentation n = n + 1 permet de tester les rangs successifs jusqu'à ce que la condition de sortie soit validée.