Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de 2020, traite des probabilités conditionnelles dans un contexte de santé publique (nutrition infantile). L'objectif est de modéliser une situation aléatoire complexe à l'aide d'un arbre pondéré pour ensuite calculer des probabilités d'intersections et des probabilités totales.

Points de vigilance et notions requises

• Traduction mathématique : Il faut identifier que « un enfant sur 8 » correspond à la probabilité conditionnelle \(p_B(S) = 1/8 = 0,125\).
• L'arbre pondéré : Chaque nœud doit avoir une somme de probabilités égale à 1.
• Loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer \(p(S)\), elle nécessite de sommer les probabilités des chemins menant à l'évènement \(S\).
• Probabilité « inversée » (Formule de Bayes) : La dernière question demande \(p_S(B)\), ce qui nécessite de diviser \(p(B \cap S)\) par \(p(S)\).

Correction détaillée

1. Justification : On nous dit que parmi les enfants buvant au moins une boisson sucrée (\(B\)), un enfant sur 8 est en surpoids (\(S\)). Ainsi, \(p_B(S) = \frac{1}{8} = 0,125\).

2. Arbre pondéré : L'arbre part de la racine vers \(B\) (0,6) et \(\overline{B}\) (0,4). De \(B\), deux branches partent vers \(S\) (0,125) et \(\overline{S}\) (0,875). De \(\overline{B}\), deux branches partent vers \(S\) (0,08) et \(\overline{S}\) (0,92).

3. Calcul de \(p(B \cap S)\) : Selon la formule des probabilités composées, \(p(B \cap S) = p(B) \times p_B(S) = 0,6 \times 0,125 = 0,075\).

4. Probabilité de \(S\) : D'après la loi des probabilités totales : \(p(S) = p(B \cap S) + p(\overline{B} \cap S) = 0,075 + (0,4 \times 0,08) = 0,075 + 0,032 = 0,107\).

5. Probabilité sachant \(S\) : On cherche \(p_S(B) = \frac{p(B \cap S)}{p(S)} = \frac{0,075}{0,107} \approx 0,701\).