Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles. L'énoncé nous place dans un contexte concret de restauration où les clients font deux choix successifs : le dessert (Macarons, Tarte Tatin ou rien) et le café. La structure de l'exercice est classique et suit une progression pédagogique idéale pour préparer le baccalauréat : extraction de données, modélisation par un arbre pondéré, calcul d'intersection et utilisation de la formule des probabilités totales.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Lecture d'énoncé : Il faut savoir distinguer une probabilité simple (ex: 30% des clients prennent une tarte) d'une probabilité conditionnelle (parmi ceux qui prennent une tarte, 60% prennent un café).
• Construction de l'arbre : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• La formule des probabilités totales : Savoir que $P(C) = P(M \cap C) + P(T \cap C) + P(P \cap C)$ est essentiel pour répondre à la question 3b.
• Probabilités inversées : La dernière question demande de calculer $P_C(M)$, ce qui nécessite l'utilisation de la définition de la probabilité conditionnelle : $P_C(M) = \frac{P(M \cap C)}{P(C)}$.

Correction détaillée

1. Valeurs directes : D'après l'énoncé, l'assortiment de tarte tatin est choisi par 30% des clients, soit $P(T) = 0,3$. Parmi eux, 60% prennent un café, donc $P_T(C) = 0,6$.

2. Arbre pondéré :
- Branche M (0,5) vers C (0,8) et $\overline{C}$ (0,2).
- Branche T (0,3) vers C (0,6) et $\overline{C}$ (0,4).
- Branche P (0,2) vers C (0,9) et $\overline{C}$ (0,1).

3. Probabilités d'intersection et totales :
a) L'évènement $M \cap C$ signifie : "Le client choisit un assortiment de macarons ET un café".
Calcul : $P(M \cap C) = P(M) \times P_M(C) = 0,5 \times 0,8 = 0,4$.
b) Selon la loi des probabilités totales :
$P(C) = P(M \cap C) + P(T \cap C) + P(P \cap C)$
$P(C) = 0,4 + (0,3 \times 0,6) + (0,2 \times 0,9)$
$P(C) = 0,4 + 0,18 + 0,18 = 0,76$. Le résultat est bien démontré.

4. Probabilité conditionnelle inverse :
On cherche $P_C(M) = \frac{P(M \cap C)}{P(C)} = \frac{0,4}{0,76} \approx 0,53$ à $10^{-2}$ près.