Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de spécialité mathématiques de 2020, porte sur le thème des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires. L'énoncé nous place dans le contexte d'un Escape Game où deux événements successifs sont dépendants. L'enjeu est de traduire les données textuelles en un modèle mathématique rigoureux (l'arbre pondéré) pour ensuite calculer des probabilités d'intersections et des probabilités totales.

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer $P(M)$, il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à $M$ ($E \cap M$ et $\bar{E} \cap M$).
• Probabilité conditionnelle inversée : La question 4 demande $P_M(\bar{E})$. Attention à ne pas confondre avec $P_{\bar{E}}(M)$. On utilise la définition : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
• Espérance mathématique : Dans la question 5, le montant moyen correspond à l'espérance $E(X)$. Il faut d'abord définir la loi de probabilité de la variable $X$.

Guide de résolution détaillé

1. Construction de l'arbre :
Le premier niveau correspond à l'événement $E$. On a $P(E) = 0,5$ donc $P(\bar{E}) = 1 - 0,5 = 0,5$.
Le deuxième niveau dépend du premier. Si $E$ est réalisé, $P_E(M) = 0,6$ (donc $P_E(\bar{M}) = 0,4$). Si $\bar{E}$ est réalisé, $P_{\bar{E}}(M) = 0,45$ (donc $P_{\bar{E}}(\bar{M}) = 0,55$).

2. Probabilité de réussir les deux parties :
On cherche $P(E \cap M)$. Selon la règle du produit : $P(E \cap M) = P(E) \times P_E(M) = 0,5 \times 0,6 = 0,3$.

3. Probabilité de réussir "Musée" :
D'après la formule des probabilités totales :
$P(M) = P(E \cap M) + P(\bar{E} \cap M)$
$P(M) = 0,3 + (0,5 \times 0,45) = 0,3 + 0,225 = 0,525$. Le résultat est bien celui attendu.

4. Probabilité sachant M :
$P_M(\bar{E}) = \frac{P(\bar{E} \cap M)}{P(M)} = \frac{0,225}{0,525} \approx 0,43$ (arrondi au centième).

5. Montant moyen de la réduction :
Soit $X$ la variable aléatoire associée au montant de la réduction. $X$ peut prendre les valeurs 0, 2 ou 4.
- $P(X=4)$ : Réussir les deux parties = $P(E \cap M) = 0,3$.
- $P(X=0)$ : Échouer aux deux = $P(\bar{E} \cap \bar{M}) = 0,5 \times 0,55 = 0,275$.
- $P(X=2)$ : Réussir une seule partie = $1 - (0,3 + 0,275) = 0,425$.
L'espérance est $E(X) = 0 \times 0,275 + 2 \times 0,425 + 4 \times 0,3 = 0,85 + 1,2 = 2,05$.
En moyenne, une équipe obtient 2,05 € de réduction.