Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il combine l'usage d'un arbre pondéré pour modéliser des probabilités conditionnelles et l'étude d'une variable aléatoire pour évaluer la rentabilité d'un jeu. L'enjeu est de ne pas confondre les probabilités d'intersection avec les probabilités conditionnelles et de bien définir les valeurs du gain algébrique.

Points de vigilance

• L'arbre pondéré : Assurez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Gain algébrique : C'est la différence entre la recette et la mise. N'oubliez pas de soustraire les 10 € de mise à chaque issue possible.
• Loi de probabilité : La somme des probabilités trouvées doit impérativement être égale à 1.

Correction détaillée

1. Arbre pondéré : L'arbre commence par trois branches $S$, $C$ et $M$ avec une probabilité de $1/3$ chacune. De chaque branche partent deux sous-branches $B$ (bonne réponse) et $\bar{B}$ (mauvaise réponse).

2. Calcul de $P(B)$ : D'après la formule des probabilités totales :
$P(B) = P(S \cap B) + P(C \cap B) + P(M \cap B)$
$P(B) = (1/3 \times 1/2) + (1/3 \times 3/4) + (1/3 \times 1/4) = 1/6 + 1/4 + 1/12$.
En mettant tout sur 12 : $2/12 + 3/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2$.

3. Probabilité $P(X=40)$ : Le gain $X=40$ correspond à l'événement « Musique ET Bonne réponse » ($50 - 10 = 40$).
$P(X=40) = P(M \cap B) = 1/3 \times 1/4 = 1/12$.

4. Loi de probabilité de $X$ : Les valeurs possibles de $X$ sont :

• $X = -10$ si la réponse est fausse. $P(X=-10) = P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1/2$.
• $X = 0$ si Sport et Bonne réponse. $P(X=0) = P(S \cap B) = 1/6$.
• $X = 10$ si Cinéma et Bonne réponse. $P(X=10) = P(C \cap B) = 1/4$.
• $X = 40$ si Musique et Bonne réponse. $P(X=40) = 1/12$.

5. Espérance : $E(X) = (-10 \times 1/2) + (0 \times 1/6) + (10 \times 1/4) + (40 \times 1/12) = -5 + 2.5 + 40/12 = -2.5 + 10/3$.
$E(X) = -7.5/3 + 10/3 = 2.5/3 \approx 0.83$ €.
L'espérance est positive, donc Jeanne a statistiquement intérêt à jouer sur le long terme.