Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu du sujet de Première Spécialité Mathématiques (Amérique du Nord, 2021). Il balaie un spectre large du programme : propriétés algébriques de la fonction exponentielle, géométrie analytique (orthogonalité), calcul de dérivée composée, formules de trigonométrie et interprétation graphique du nombre dérivé.

Points de vigilance et notions requises

• Exponentielle : Maîtrise des règles de calcul ($e^a \times e^b = e^{a+b}$ et la factorisation).
• Géométrie : Savoir identifier un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ à partir d'une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ et utiliser le produit scalaire pour tester l'orthogonalité.
• Dérivation : Appliquer la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ en faisant attention à la dérivée de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$.
• Trigonométrie : Connaître les relations sur le cercle trigonométrique (angles associés).
• Interprétation graphique : Se souvenir que $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Correction détaillée

Question 1 : On cherche à transformer l'expression $e^{2x} + e^{4x}$. En développant la proposition c, on obtient : $e^{3x}(e^x + e^{-x}) = e^{3x}e^x + e^{3x}e^{-x} = e^{3x+x} + e^{3x-x} = e^{4x} + e^{2x}$. La réponse correcte est donc la c.

Question 2 : On teste l'orthogonalité des vecteurs $\vec{u}(-5; 2)$ et $\vec{v}(4; 10)$ via le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-5 \times 4) + (2 \times 10) = -20 + 20 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux. La réponse correcte est la c.

Question 3 : Soit $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$. On pose $u(x) = 2x - 1$ ($u'(x) = 2$) et $v(x) = e^{-x}$ ($v'(x) = -e^{-x}$). Alors $f'(x) = 2e^{-x} + (2x - 1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2 - (2x - 1)) = e^{-x}(2 - 2x + 1) = (-2x + 3)e^{-x}$. La réponse correcte est la c.

Question 4 : D'après les formules des angles associés sur le cercle trigonométrique, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$. La réponse correcte est la a.

Question 5 : $f'(0)$ est la pente de la tangente $T$ passant par $A(0; 3)$. On observe graphiquement que cette droite passe aussi par le point de coordonnées $(0,6; 0)$. Le coefficient directeur est $m = (0 - 3) / (0,6 - 0) = -3 / 0,6 = -5$. La réponse correcte est la d.