Analyse de l'énoncé : La gestion des courriels

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques aborde le thème des probabilités conditionnelles à travers une situation concrète : le filtrage de courriels par un logiciel anti-spam. L'énoncé nous fournit une structure de partition de l'univers via deux évènements principaux : $I$ (le courriel est indésirable) et $S$ (le courriel est bloqué). L'objectif est de traduire des pourcentages textuels en probabilités, de construire un arbre pondéré et d'appliquer les formules fondamentales du cours.

Points de vigilance et notions requises

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Il faut veiller à ce que la somme des probabilités issues d'un même nœud soit toujours égale à 1.
• Intersection et Probabilité conditionnelle : Ne pas confondre $P(I \cap S)$ (le courriel est à la fois indésirable ET bloqué) avec $P_I(S)$ (la probabilité qu'il soit bloqué SACHANT qu'il est indésirable).
• Loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer $P(S)$, elle consiste à sommer les probabilités des chemins menant à l'évènement $S$.
• Inversion des probabilités : La question 4 demande $P_S(I)$, ce qui nécessite l'application de la définition de la probabilité conditionnelle : $P_S(I) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)}$.

Correction détaillée de l'exercice

1. Complétion de l'arbre :
Sur la première branche vers $I$, on a $0,35$. Par complémentarité, vers $\overline{I}$, on a $1 - 0,35 = 0,65$.
Partant de $I$, la branche vers $S$ vaut $0,95$, donc celle vers $\overline{S}$ vaut $0,05$.
Partant de $\overline{I}$, la branche vers $S$ vaut $0,02$ (donnée par l'énoncé), donc celle vers $\overline{S}$ vaut $0,98$.

2. Calcul de $P(\overline{I} \cap S)$ :
D'après le chemin correspondant sur l'arbre : $P(\overline{I} \cap S) = P(\overline{I}) \times P_{\overline{I}}(S) = 0,65 \times 0,02 = 0,013$.

3. Montrer que $P(S) = 0,3455$ :
Selon la loi des probabilités totales, $I$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers :
$P(S) = P(I \cap S) + P(\overline{I} \cap S) = (0,35 \times 0,95) + 0,013 = 0,3325 + 0,013 = 0,3455$.

4. Probabilité que le courriel soit indésirable sachant qu'il est bloqué :
$P_S(I) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)} = \frac{0,3325}{0,3455} \approx 0,962$.

5. Analyse de l'affirmation du fournisseur :
Le logiciel se trompe dans deux situations :
1. Il bloque un mail non indésirable : $\overline{I} \cap S$ (probabilité $0,013$).
2. Il laisse passer un mail indésirable : $I \cap \overline{S}$ (probabilité $0,35 \times 0,05 = 0,0175$).
La probabilité d'erreur totale est $0,013 + 0,0175 = 0,0305$, soit $3,05 \%$. L'affirmation est donc fausse car $3,05 \% > 2 \%$.