Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur les probabilités discrètes, divisé en deux phases classiques : la modélisation par un arbre pondéré et l'étude d'une variable aléatoire. L'objectif est de vérifier la compréhension des probabilités conditionnelles et de la notion d'espérance mathématique.

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. Attention à ne pas confondre $P(G_2)$ avec la probabilité conditionnelle $P_{G_1}(G_2)$.
• Probabilités totales : Pour calculer $P(G_2)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à l'issue souhaitée (Loi des probabilités totales).
• Variable Aléatoire : Le gain algébrique prend en compte les gains (positifs) et les pertes (négatifs). Bien identifier les combinaisons de victoires/défaites.
• Jeu équitable : Un jeu est dit équitable si et seulement si l'espérance mathématique $E(X)$ est égale à 0.

Correction détaillée

Partie A

1. Arbre : Le premier niveau part de $G_1$ (0,2) et $\overline{G_1}$ (0,8). Le deuxième niveau donne :
   - Après $G_1$ : $G_2$ (0,9) et $\overline{G_2}$ (0,1).
   - Après $\overline{G_1}$ : $G_2$ (0,4) et $\overline{G_2}$ (0,6).
2. Probabilité de gagner les deux parties : Il s'agit de $P(G_1 \cap G_2) = P(G_1) \times P_{G_1}(G_2) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$.
3. Calcul de $P(G_2)$ : D'après la loi des probabilités totales :
   $P(G_2) = P(G_1 \cap G_2) + P(\overline{G_1} \cap G_2) = 0,18 + (0,8 \times 0,4) = 0,18 + 0,32 = 0,50$.

Partie B

1. Loi de probabilité : Les valeurs possibles de $X$ sont :
   - 2 victoires ($G_1 \cap G_2$) : $1,5 + 1,5 = 3€$ ($P=0,18$)
   - 1 victoire et 1 défaite ($G_1 \cap \overline{G_2}$ ou $\overline{G_1} \cap G_2$) : $1,5 - 1 = 0,5€$. Probabilité : $(0,2 \times 0,1) + (0,8 \times 0,4) = 0,02 + 0,32 = 0,34$.
   - 2 défaites ($\overline{G_1} \cap \overline{G_2}$) : $-1 - 1 = -2€$. Probabilité : $0,8 \times 0,6 = 0,48$.
   Le tableau se complète avec les colonnes $X_i : \{-2 ; 0,5 ; 3\}$ et $P(X=X_i) : \{0,48 ; 0,34 ; 0,18\}$.
2. Équité : Calculons l'espérance :
   $E(X) = -2 \times 0,48 + 0,5 \times 0,34 + 3 \times 0,18 = -0,96 + 0,17 + 0,54 = -0,25$.
   Comme $E(X) \neq 0$, le jeu n'est pas équitable (il est défavorable au joueur).